Βιογραφία και έργο του George Cuisenaire: Ήταν Βέλγος δάσκαλος δημοτικού σχολείου ο οποίος εφεύρε τα ξυλάκια Cuisenaire για να διδάξει μαθηματικά. Το 1952 έκδωσε το πρώτο του έργο με τίτλο “Numbers in color”. Με τον τρόπο αυτό έδειξε στον κόσμο πως το έργο του μπορεί να χρησιμοποιηθεί για να διδάξει τα πρώιμα στάδια αριθμητικής. Αφορμή όλων αυτών ήταν η αποδοχή ότι το παιδί πρέπει να μάθει και να διδαχθεί , μέσα από την πράξη η οποία θα τον βοηθήσει να αποκτήσει την απαιτούμενη αυτοπεποίθηση. Μέσα από έρευνες ανακάλυψε ότι παιδιά μεταξύ ηλικίας 6-7 ετών που χρησιμοποίησαν τα ξυλάκια απέκτησαν άριστες επιδόσεις στην αριθμητική. Οι παρατηρήσεις του προκάλεσαν ενδιαφέρον και ενθουσιασμό, καθώς επιβεβαιώθηκαν από χιλιάδες δασκάλους σε περισσότερες από 60 χώρες, με αποτέλεσμα να διαδοθούν οι ράβδοι Cuisenaire από δάσκαλο σε δάσκαλο και άρα από σχολείο σε σχολείο. Στη συνέχεια σε συνεργασία με τον Caleb Gattegno η δουλειά του έγινε ευρύτερα γνωστή.

Μαθηματικές Δραστηριότητες αριθμών και πράξεων με τις ράβδους Cuisenaire: Οι ράβδοι Cuisenaire χρησιμοποιούνται για την ανάπτυξη της έννοιας του αριθμού, των σχέσεων των αριθμών μεταξύ τους των πράξεων μεταξύ των αριθμών και των κλασματικών εννοιών. Είναι δηλαδή μοντέλα μήκους τα οποία τα παιδιά διαχειρίζονται σε δραστηριότητες σύνθεσης και σύγκρισης μηκών. Οι ράβδοι Cuisenaire έχουν κομμάτια με μήκη 1 έως 10 μετρημένα με βάση τη μικρότερη ράβδο.

Κάθε μήκος είναι διαφορετικού χρώματος για να αναγνωρίζεται εύκολα. Το μοντέλο χρήσης της ράβδου είναι ευέλικτο διαθέτοντας χωριστά χρώματα για συγκρίσεις. Εκτός από δραστηριότητες που στοχεύουν στην ανάπτυξη της έννοιας του αριθμού στις πρώτες τάξεις του δημοτικού (Γεωργιάδου-Καμπουρίδη & Μαρκόπουλος, 2007) οι ράβδοι Cuisenaire μπορούν να χρησιμοποιηθούν ως υποστηρικτικό υλικό για την αντιμετώπιση δυσκολιών των παιδιών σε μεγαλύτερες τάξεις. Είναι σημαντικό τα παιδιά να αντιληφθούν και να αναπτύξουν, μέσα από μία ποικιλία δράσεων, τις σταθερές σχέσεις που συνδέουν τους αριθμούς ως το 10 και στη συνέχεια των δεκάδων ως το 100. Οι σταθερές αυτές σχέσεις, που δεν απομνημονεύονται αλλά σταθεροποιούνται μέσα από τη συστηματική χρήση, αποτελούν τη βάση για κάθε αριθμητική ανάπτυξη. Με το υλικό Cuisenaire διευκολύνεται το παιδί να κάνει πολλές προκαταρκτικές ασκήσεις, ώστε να κατανοήσει την έννοια του αριθμού και το περιεχόμενο των 4 πράξεων, πριν αρχίσει ν’ ασχολείται με τους νοερούς υπολογισμούς και τα σύμβολα των αριθμών. Έτσι π.χ. Κόκκινο (2) και κόκκινο (2) έχουν μήκος όσο το μοβ (4). Μοβ και μοβ έχουν μήκος όσο ένα καφέ (8). Κίτρινο (5) και κίτρινο (5) έχουν μήκος όσο ένα πορτοκαλί (10). Ανοιχτό πράσινο (3) και ανοιχτό πράσινο (3) έχουν μήκος όσο το σκούρο πράσινο (6). Κίτρινο (5) και ανοιχτό πράσινο (3) έχουν μήκος όσο το καφέ (8) κ.λπ. Η αντίληψη των αριθμών από το 1-10 γίνεται κατανοητή ως μια σύνδεση μηκών και χρωμάτων που αργότερα το παιδί θα διαχειρίζεται ως τα «ζευγάρια του 10».

Με τον τρόπο αυτό, βοηθούνται τα παιδιά να κατακτήσουν το νόημα της πρόσθεσης των αντικειμένων. Με τις ράβδους και πριν μάθουν τα παιδιά τη συμβολική αναπαράσταση των αριθμών, θα κάνουν πολλές αντίστοιχες ασκήσεις για κάθε πράξη, ώστε εύκολα υστέρα να περάσουν στην αφηρημένη και συμβολική διαχείριση αριθμών και πράξεων, να περάσουν δηλαδή από τις ράβδους στους αριθμούς. Έτσι, για παράδειγμα ο αριθμός 10 εκτός από «τα ζευγάρια του 10» μπορεί να αναλυθεί σε πολύ περισσότερα μήκη.

Συνδυασμοί και σχέσεις αριθμών ως ζευγάρια του 1- και σχέσεων μεγαλύτερων του 10 αντίστοιχα.

Η συστηματική ενασχόληση με το παραπάνω υλικό διευκολύνει την παρατηρητικότητα του παιδιού, την αυτενέργεια και δημιουργικότητα, την επαλήθευση και την κατανόηση και τελικά το οδηγεί σταδιακά στη μαθηματική σκέψη. Οι φάσεις αυτές της εργασίας συνδέονται μεταξύ τους με τέτοιο τρόπο, ώστε ή παρατήρηση να διευκολύνει την πράξη, τον αριθμητικό υπολογισμό, τον αυτοέλεγχο του παιδιού και την κατανόηση των αριθμητικών πράξεων απ’ το παιδί.

Παρατήρηση: (α) Τα χρώματα, συνδεδεμένα όπως είναι σε οικογένειες και όπως αντιπροσωπεύουν διαφόρους αριθμούς το καθένα, ασκούν την παρατηρητικότητα του παιδιού και οδηγούν στη σύνδεση της παρατήρησης με νοερούς υπολογισμούς. (β) Οι διαστάσεις (τα μεγέθη) των ράβδων, όντας διαφορετικές και συμμετρικές, διευκολύνουν το παιδί να σχηματίζει συγχρόνως νοητικές εικόνες και διαφορετικές αντιλήψεις των μεγεθών, χρησιμοποιώντας τις αισθήσεις του όραση και αφή και να κάνει νοητικές συνδέσεις των αισθήσεων με τις νοητικές εικόνες. (γ) Τέλος, ο συνδυασμός χρωμάτων και διαστάσεων, διευκολύνει τη συμβολή όλων των αισθήσεων του παιδιού και την άσκηση της νοητικής του ικανότητος, προετοιμάζοντάς το για την εμφάνιση της αφαιρετικής σκέψης. Γενικά, η συστηματική ενασχόληση με δραστηριότητες που αξιοποιούν το υλικό αυτό διευκολύνει το παιδί να εξοικειωθεί με τις σχέσεις των μεγεθών, των ποσοτήτων και των αριθμών και το οδηγεί στην απόκτηση νοητικών εικόνων, που οι οποίες θα είναι ακριβείς και θα έχουν διάρκεια (άσκηση στο να απομνημονεύει χρώματα και μεγέθη, με κλειστά μάτια).

Αυτενέργεια και δημιουργικότητα: Με τη χρησιμοποίηση του υλικού αυτού, το παιδί ικανοποιεί την ανάγκη για νοητική αναζήτηση, γιατί το υλικό αυτό υποκινεί το παιδί να εφεύρει αυθόρμητα και ελεύθερα πολλούς και ποικίλους συνδυασμούς, στηριγμένους στις σχέσεις και στις ομάδες των αριθμών. Οι συνδυασμοί αυτοί εφευρίσκονται απ’ το παιδί με ανιχνεύσεις και υποθέσεις που επαληθεύονται απ’ το ίδιο με βάση το υλικό. Η νοητική αυτή αναζήτηση που προκαλεί το υλικό Cuisenaire είναι η καλύτερη μορφή αυτενέργειας καθώς στηρίζει τη δημιουργικότητα μέσα από διαδικασίες πειραματισμού και αυτοέλεγχου.

Επαλήθευση και Κατανόηση: Πρόκειται για την πιο σημαντική φάση της ενασχόλησης του παιδιού με το υλικό αυτό. Το παιδί με τις πολλές του ανιχνεύσεις για τους αριθμητικούς συνδυασμούς που εμπεριέχει το υλικό κάνει υπολογισμούς, εκτιμήσεις αλλά και λάθη (εικόνα 21), τα όποια όμως διορθώνει το ίδιο, την ίδια στιγμή που τα διαπιστώνει, με τη βοήθεια πάντοτε του συγκεκριμένου υλικού. Ασκώντας με τον τρόπο αυτό τη δημιουργική φαντασία και τους νοερούς υπολογισμούς το παιδί εύκολα προχωρά στην κατανόηση ποσοτήτων και σχέσεων που αφορούν τους αριθμούς και τις πράξεις τους.

Προσπαθώντας για το 27 (8+8+8 ≠27 όπως και 8+8+8+4 ≠27) και φτιάχνοντας το 27 (8+8+8 + 3 = 27 ή 3 οχτάρια + 3=27).

Μαθηματική σκέψη: Με τη συστηματική χρήση του υλικού αυτού μέσα από δραστηριότητες, το παιδί αναζητά κάθε φορά νέους αριθμητικούς συνδυασμούς για να ικανοποιήσει την έφεση του στην ανακάλυψη νέων σχέσεων και υπολογισμών. Η δράση αυτής της μορφής επάνω στα υλικά το οδηγεί αρχικά στην κατανόηση στην αυτοματοποίηση των διαδικασιών και σταδιακά στη μαθηματική σκέψη.

Αντίληψη των αριθμών 11 ως 20 με τη βοήθεια του υλικού.

Γενικά, η μέθοδος εργασίας με το υλικό Cuisenaire, εμφανίζει τα έξης πλεονεκτήματα: Διευκολύνει κάθε παιδί να συγκροτεί τη μαθηματική του σκέψη, σύμφωνα με τις ατομικές πνευματικές του δυνατότητες, οι όποιες είναι διαφορετικές στο κάθε παιδί. Με τον τρόπο αυτό το υλικό στηρίζει την ατομική εργασία. Ασκεί την παρατηρητικότητα και δημιουργεί σαφείς και μόνιμες οπτικές εικόνες. Διευκολύνει την απόκτηση απ’ το παιδί της ιδέας του «όλου», σε συσχετισμό με τα «μέρη», με τις ποικίλες συνθέσεις και αναλύσεις του υλικού. Οδηγεί προοδευτικά και συστηματικά το παιδί απ’ τη συγκεκριμένη στην αφαιρετική σκέψη, με το να το συνηθίζει να «βλέπει» με τη σκέψη του ό,τι κάνει στην πράξη με το υλικό, είτε ανιχνεύοντας, είτε επαληθεύοντας τις ανιχνεύσεις του. Με την ανάπτυξη και καλλιέργεια της μαθηματικής σκέψης — καλλιέργεια που γίνεται με τη συστηματική χρησιμοποίηση του υλικού απ’ το παιδί και με την ενεργητική συμμετοχή όλων των αισθήσεων του με βάση τις διαστάσεις του υλικού τις σχέσεις των διαστάσεων και των χρωμάτων— το παιδί αναπτύσσει τις ικανότητες της ανάλυσης και της σύνθεσης με το να πραγματοποιεί συνδυασμούς που ξεκινούν απ’ τη δική του εμπειρία. Έτσι, ομαλά και με φυσικό τρόπο, η σκέψη του παιδιού προχωρά από τη διαχείριση αντικειμένων στη μαθηματική σκέψη. Το υλικό Cuisenaire κάνει το μάθημα ευχάριστο, ελκυστικό και ζωντανό για το παιδί. Η εργασία με το υλικό αυτό νοηματοδοτεί την «έννοια» του αριθμού και επιτρέπει στο παιδί να χρησιμοποιήσει ελεύθερα και άνετα τις προσωπικές του εικόνες για τον αριθμό στην κατανόηση των αριθμητικών υπολογισμών. Το υλικό αυτό χτίζει τις γέφυρες που συνδέουν την εργασία του παιδιού πάνω στο συγκεκριμένο μαθηματικό υλικό με τα σύμβολα των αριθμών. Με λίγα λόγια, το παιδί που χρησιμοποιεί το υλικό αυτό, παρατηρεί, ενεργεί, εφευρίσκει, υπολογίζει και επαληθεύει. Παρατηρεί τον αριθμό στην ουσία του και στην ολότητα του κι όχι αριθμώντας σύμβολα. Παρατηρεί τη σχέση μεταξύ των ίδιων μεγεθών ή χρωμάτων (σχέση ποσού) και μεταξύ διαφορετικών μεγεθών (σχέση μεγέθους). Ενεργεί βάζοντας τα διάφορα ραβδάκια σε συνέχειες και εφευρίσκοντας ελεύθερα όλους τους δυνατούς συνδυασμούς. Εφευρίσκει πειραματικά τη σύνθεση και την ανάλυση κάθε αριθμού. Υπολογίζει δίχως να ξέρει αριθμούς και φθάνει σύντομα στους μαθηματικούς αυτοματισμούς. Ελέγχει και επαληθεύει μόνο του τους υπολογισμούς που έκανε, διορθώνει μόνο του τα λάθη του δουλεύοντας ατομικά ή μέσα στην ομάδα. Εκφράζεται με μαθηματική ακρίβεια, που με άλλον τρόπο είναι δύσκολο να το επιτύχει.

Για να μπορεί να λειτουργήσει η τάξη με ράβδους Cuisenaire είναι αυτονόητο ότι απαιτούνται τόσες συλλογές από ράβδους όσες και οι ομάδες των παιδιών (π.χ. για μια τάξη 20 παιδιών θα χρειαστούν 5 συλλογές). Ακόμη και στο στάδιο ατομικής εργασίας τα παιδιά μπορούν να χρησιμοποιούν ξυλάκια από την ίδια συλλογή (εικόνα 24). Οι ράβδοι του εμπορίου είναι ξύλινες (ακριβότερες) ή πλαστικές. Το σχολείο μπορεί να προμηθευτεί τις αντίστοιχες ανάλογα με τις οικονομικές του δυνατότητες.

Χρήση υλικού Cuisenaire από δύο παιδιά.

Τα παιδιά προτείνεται να λειτουργήσουν αρχικά ατομικά, καθώς εξοικειώνονται με το υλικό και στη συνέχεια εταιρικά καθώς θα χρησιμοποιούν το υλικό για επαλήθευση των λύσεων στις οποίες κατέληξαν. Είναι αυτονόητο πως οι στοιχειώδεις συνεργατικές δεξιότητες πρέπει να έχουν ήδη καλλιεργηθεί ώστε η διαχείριση του υλικού να γίνεται αποτελεσματικά και χωρίς πρόσθετες δυσκολίες από τα παιδιά. Τα παιδιά είναι απαραίτητο να έχουν ασχοληθεί και εξασκηθεί στην εκμάθηση της φυσικής ακολουθίας των αριθμών μέχρι το 10 ώστε να προχωρήσουν στην ενασχόληση δραστηριοτήτων με τα ξυλάκια Cuisenaire. Φυσικά αυτό προαπαιτεί αρκετό χρόνο και ποικίλες δραστηριότητες κατά τη διάρκεια της χρονιάς.