Προσέγγιση της έννοιας του πολλαπλασιασμού

Γιαννοπούλου Αγγελική, Κολίτσα Χρυσούλα
Eισαγωγή : 

Σκοπός της παρούσας εργασίας είναι η παρουσίαση μίας εναλλακτικής διδακτικής πρότασης για τη διδασκαλία του πολλαπλασιασμού, η οποία εντάσσεται στο πλαίσιο της διερευνητικής μάθησης. Το «Μάθημα της Διερεύνησης» ορίζεται ως μία εκπαιδευτική καινοτομία που «συνίσταται στη διεξαγωγή ενός άτυπου σχολικού μαθήματος εστιασμένου στη βιωματική και επικοινωνιακή μαθησιακή διαδικασία, όπου διμελείς ή τριμελείς ομάδες μαθητών εκπονούν διερευνητικά συνεργατικά Projects. Βασική παράμετρος της διερευνητικής παιδαγωγικής και συνεπώς του συγκεκριμένου πονήματος, είναι η ένταξη και αξιοποίηση της ψηφιακής τεχνολογίας μέσα στο χώρο του σχολείου. Άλλωστε, οι νέες τεχνολογίες θεωρείται σήμερα ότι μπορούν να διαδραματίσουν θετικό ρόλο στην εκπαιδευτική διαδικασία, με βασική προϋπόθεση την τήρηση των προδιαγραφών που έχει ορίσει το παιδαγωγικό ινστιτούτο για το εκπαιδευτικό λογισμικό.

Ο κύριος στόχος της διδακτικής πρότασης είναι να αντιληφθούν τα παιδιά τον αλγόριθμο του πολλαπλασιασμού μέσα από τις οπτικές αναπαραστάσεις του. Η θεματική της εργασίας συνδέεται άμεσα με τη στοχοθεσία που ορίζει το Αναλυτικό Πρόγραμμα και χρησιμοποιεί την τεχνολογία τόσο για την αφήγηση του σεναρίου όσο και για την οπτικοποίηση του πολλαπλασιασμού. Η διδακτική παρέμβαση διάρκειας δύο διδακτικών ωρών (90 λεπτών), απευθύνεται σε μαθητές της τρίτης τάξης του δημοτικού, ηλικίας 9 ετών και πραγματοποιήθηκε στους 24 μαθητές των δύο τμημάτων του δημοτικού σχολείου Πορταριάς.

Στο εισαγωγικό κεφάλαιο της εργασίας επιχειρείται η ανάλυση της μαθηματικής έννοιας, δηλαδή του πολλαπλασιασμού και των ιδιοτήτων του, καθώς και τα αποτελέσματα που προέκυψαν από τη διεξαγωγή της άτυπης συνέντευξης. Στο επόμενο κεφάλαιο παρουσιάζονται αναλυτικά οι μαθησιακοί στόχοι που τέθηκαν και οι δραστηριότητες που οργανώθηκαν για την επίτευξή τους. Παράλληλα, δεν παραλείπεται να γίνει μία εκτενής και αναλυτική περιγραφή των υλικών που υποστήριξαν τις συγκεκριμένες δραστηριότητες. Στη συνέχεια, γίνεται η λεπτομερής παρουσίαση των βημάτων που ακολουθήθηκαν, ώστε να επιτευχθούν οι μαθησιακοί και γνωστικοί στόχοι. Στο τελευταίο κεφάλαιο, επιχειρείται η ανάλυση των αποτελεσμάτων και εξετάζεται ο ρόλος της ψηφιακής τεχνολογίας μέσα στο πλαίσιο της διδακτικής παρέμβασης.

Μαθηματική Έννοια και Δεξιότητες:

Η παρούσα εργασία θέτει στο επίκεντρο τη μαθηματική έννοια του πολλαπλασιασμού. Πιο συγκεκριμένα, εστιάζει στα αριθμητικά μοτίβα που προκύπτουν μέσα από τον πολλαπλασιασμό συγκεκριμένων αριθμών, στον κανόνα των μηδενικών και στις οπτικές αναπαραστάσεις του πολλαπλασιασμού. Δεν στρέφεται αυστηρά στην ορθότητα επιτέλεσης των αριθμητικών πράξεων με χαρτί και μολύβι. Αντίθετα, γίνεται προσπάθεια να αναδειχθεί ο τρόπος που τα παιδιά κατανοούν τις αριθμητικές πράξεις του πολλαπλασιασμού, ενώ παράλληλα υπάρχει ενδιαφέρον για τις μεθόδους που ακολουθούν, ώστε να φτάσουν στην επίλυση τους. Είναι γεγονός ότι ο αλγόριθμος του πολλαπλασιασμού θεωρείται ο δυσκολότερος από τους τέσσερις αλγόριθμους. Οι μαθητές δυσκολεύονται να κατανοήσουν τόσο τα σύνολα ως ξεχωριστές δομές, όσο και ότι ένα σύνολο αποτελείται από ένα δεδομένο αριθμό αντικειμένων. Ο Κώστας Ζαχαρός επισημαίνει:

«Ο Piaget (1965) υπογραμμίζει ότι ο πολλαπλασιασμός και η διαίρεση απαιτούν ικανότητες που βασίζονται σε ποιοτικές αλλαγές στην παιδική σκέψη. Στον προσθετικό συλλογισμό (additive reasoning), για παράδειγμα, που εμφανίζεται στα προβλήματα πρόσθεσης και αφαίρεσης με διάφορες μορφές, αντικείμενα ή σύνολα αντικειμένων ενώνονται ή διαχωρίζονται. Όμως ο πολλαπλασιαστικός συλλογισμός διαφέρει, γιατί δεν εμπλέκει μόνο τις πράξεις της ένωσης και του διαχωρισμού. Εδώ εμφανίζονται ποικίλα είδη συλλογισμών, όπως η αντιστοίχηση ένα προς πολλά, οι αναλογικές σχέσεις μεταξύ μεταβλητών, οι λειτουργίες διανομής, διαίρεσης και διαχωρισμού (Nunes & Bryant, 1996)»

Η απόκτηση της μαθηματικής γνώσης είναι μία «διαρκής διαδικασία επαναδόμησης», απαιτεί δηλαδή τον αναστοχασμό των μαθητών για να αναδιοργανώσουν τις γνώσεις τους και δεν αποτελεί μια γραμμική μαθησιακή εξέλιξη. Γι’ αυτό το λόγο πριν την εφαρμογή της διδακτικής παρέμβασης προηγήθηκε η άτυπη συνέντευξη. Στόχος μας ήταν η ανίχνευση των γνώσεων των μαθητών για τον πολλαπλασιασμό, για να μπορέσουμε στη συνέχεια να εισάγουμε τις νέες γνώσεις. Οι ερωτήσεις που τέθηκαν στόχευαν στη σύνδεση του πολλαπλασιασμού με τον αλγόριθμο της πρόσθεσης και στη συνέχεια με τις ιδιότητες του (επιμεριστική, προσεταιριστική, αντιμεταθετική, ιδιότητα του ουδέτερου στοιχείου και το ρόλο του μηδενός). Η άτυπη συνέντευξη πλαισιώθηκε από μια ιστορία, που δημιουργήθηκε με αφορμή το βιβλίο «Το πειραχτήρι των αριθμών». Η αφήγηση της ενέπλεκε την επίλυση προβλημάτων. Εξαιτίας του αριθμού των μαθητών η συνέντευξη δεν έγινε ατομικά, αλλά απευθυνόταν σε όλα τα παιδιά. Τα εποπτικά μέσα ενεργοποίησαν το ενδιαφέρον των μαθητών και προκάλεσαν τη συμμετοχή τους στη διαδικασία μάθησης. Η αφήγηση των περιπετειών των δύο πρωταγωνιστών κινητοποίησε την τάξη και διέγειρε την περιέργεια τους για την έκβαση της ιστορίας.

Σχεδιασμός Διδακτικής Παρέμβασης:

Η διδακτική παρέμβαση στηρίχθηκε στην βασική παραδοχή του κονστρουκτιβισμού ότι ο άνθρωπος συμμετέχει ενεργά στην κατασκευή της γνώσης και δεν τη δέχεται παθητικά. Επομένως, για να παραχθεί νέα γνώση χρειάζεται να προκύψει μια προβληματική κατάσταση που θα ενεργοποιήσει τις γνωστικές δομές για την επίλυση του προβλήματος. Η διδασκαλία που σχεδιάστηκε στοχεύει στην παροχή ευκαιριών και την ενθάρρυνση του μαθητή να κατασκευάζει μόνος του τις μαθηματικές γνώσεις, μέσα από την εξερεύνηση, τον πειραματισμό, το σχηματισμό υποθέσεων και την αιτιολόγηση. Όλα τα παραπάνω συντελούν στην επίτευξη της ουσιαστικής μάθησης.

Ο αναλυτικός σχεδιασμός της διδασκαλίας θεωρείται κάτι παραπάνω από αναγκαίος και οφείλει να στηρίζεται όχι μόνο στο διδακτικό εγχειρίδιο, αλλά να ενσωματώνει πρόσθετο υλικό του εκπαιδευτικού, εκπληρώνοντας πάντα τους στόχους του αναλυτικού προγράμματος Επιπλέον, είναι σκόπιμο να καθορίζει το ρόλο του μαθητή και του διδάσκοντα και να πλαισιώνεται από ποικίλα ενισχυτικά διδακτικά μέσα, όπως η ψηφιακή τεχνολογία. Τέλος, είναι σημαντικό να εμπλέκει βιωματικά τους μαθητές και να ενεργοποιεί περισσότερες από μία αισθήσεις, καθώς με αυτό τον τρόπο επιτυγχάνεται η κατανόηση του διδασκόμενου αντικειμένου.

Στόχοι και Δραστηριότητες:

Άξονες Διδακτικής Παρέμβασης:

Οι άτυπες γνώσεις και οι εμπειρίες των παιδιών αποτελούν το εφαλτήριο για το σχεδιασμό της διδακτικής παρέμβασης. Σημαντικό ρόλο παίζει το σενάριο που την πλαισιώνει καθώς ενεργοποιεί το ενδιαφέρον τους. Η οργάνωση των μαθησιακών δραστηριοτήτων βασίστηκε στους παρακάτω τέσσερις άξονες:

    • Πλαισιοθέτηση: Η εισαγωγή στην έννοια του πολλαπλασιασμού στηρίζεται στην αφήγηση μιας φανταστικής ιστορίας. Οι περιπέτειες των δύο πρωταγωνιστών, του Ρόμπερτ και του Αριθμούλη, εισάγουν τα παιδιά στην έννοια του πολλαπλασιασμού.
    • Αναπαράσταση: Η οπτική αναπαράσταση της ιστορίας, μέσα από την προβολή της σε προτζέκτορα -εμπλουτισμένη τόσο με εικόνες όσο και με κείμενο- και η δική μας αφηγηματική επένδυση, δίνει φωνή στους δύο πρωταγωνιστές. Η αλληλεπίδραση μαθητών και πρωταγωνιστών είναι συνεχής κατά τη διάρκεια της άτυπης συνέντευξης. Η απάντηση στα ερωτήματα, προωθεί την εξέλιξη της ιστορίας.
    • Μαθηματικοποίηση: Διατηρώντας το θεματικό πλαίσιο της άτυπης συνέντευξης, σχεδιάστηκαν δύο δραστηριότητες. Η πρώτη δραστηριότητα περιλαμβάνει δύο αποστολές/φύλλα εργασίας, όπου τα παιδιά μέσα από τη διερευνητική μάθηση καλούνται να ανακαλύψουν τον κανόνα των μηδενικών και εν συνεχεία να αναγνωρίζουν τα αριθμητικά μοτίβα που προκύπτουν από τον πολλαπλασιασμό συγκεκριμένων αριθμών. Η δεύτερη δραστηριότητα αποσκοπεί στην οπτική αναπαράσταση του πολλαπλασιασμού, διαμεσολαβημένη από την ψηφιακή τεχνολογία (virtual manipulatives).
    • Δημοσιοποίηση: Η δημοσιοποίηση πραγματοποιείται με την οργάνωση της αξιολόγησης των δραστηριοτήτων. Η αξιολόγηση κάνει εμφανή την κατάκτηση των γνωστικών στόχων, αλλά και τη διάγνωση των δυσκολιών που προέκυψαν κατά τη διάρκεια των δραστηριοτήτων.

Ανάλυση Μαθησιακών Δραστηριοτήτων:

Το αρχικό στάδιο της διδακτικής παρέμβασης στηρίζεται στο σαφή και ρεαλιστικό ορισμό της στοχοθεσίας. Ως συνέπεια, ο εκπαιδευτικός καλείται να θέσει από τη μία πλευρά τους γενικούς και από την άλλη τους ειδικούς διδακτικούς στόχους.

Σκοποί:

    1. Να αντιληφθούν τον αλγόριθμο του πολλαπλασιασμού φυσικών μονοψήφιων ή πολυψήφιων αριθμών.
    1. Να κατανοούν και να χρησιμοποιούν τις ιδιότητες του πολλαπλασιασμού, όπως τον επιμερισμό του πολλαπλασιασμού ως προς την πρόσθεση.
    1. Να κατανοούν ότι όταν μιλάμε για το εμβαδό ενός σχήματος, εννοούμε το μήκος επί το πλάτος και ότι σε αυτό μας βοηθάει ο πολλαπλασιασμός.
    1. Να αναπτύξουν επικοινωνιακές δεξιότητες (συνεργασία, εργασία σε ομάδες) μέσα από τη χρήση αναπαραστατικών μέσων.
    1. Να αναπτύξουν στρατηγικές ελέγχου και επαλήθευσης.

Δραστηριότητα 1η

«Δε με φοβίζουν οι μεγάλοι αριθμοί»

Στόχοι:

    1. Να αναγνωρίσουν τα αριθμητικά μοτίβα που προκύπτουν από τον πολλαπλασιασμό συγκεκριμένων αριθμών.
    1. Να χρησιμοποιήσουν τα αριθμητικά μοτίβα, ώστε να επιλύουν τους πολλαπλασιασμούς με το μυαλό.

Πορεία: Η διδακτική παρέμβαση ξεκινά με την εξέλιξη της ιστορίας του «Ρόμπερτ και του Αριθμούλη» που πλαισίωσε την άτυπη συνέντευξη, ώστε να επιτευχθεί η σύνδεση και η ομαλή εισαγωγή στη διδασκαλία. Στη συνέχεια, ο εκπαιδευτικός μοιράζει στους μαθητές τα δύο φύλλα εργασίας. Παροτρύνει τα παιδιά να δουλέψουν τις ασκήσεις με το μυαλό, αλλά επιτρέπει τη χρήση υπολογιστικής μηχανής σε όποιον το επιθυμεί. Ενθαρρύνει τα παιδιά να σκεφτούν τον τρόπο επίλυσης των ασκήσεων, παρατηρώντας τι αλλάζει κάθε φορά στους αριθμούς που προκύπτουν. Προκαλεί παράλληλα το δημόσιο διάλογο, κοινοποιώντας την απορία κάποιου μαθητή στους υπόλοιπους.

Αξιολόγηση: Καλούμε τα παιδιά να απαντήσουν στις ερωτήσεις που υπάρχουν στις κάρτες τους, μετά το τέλος των ασκήσεων. Ερωτήσεις όπως «Τι παρατηρείς;» «Τι αλλάζει στους αριθμούς που προέκυψαν;» επιτρέπουν στον εκπαιδευτικό να αξιολογήσει την κατάκτηση των παραπάνω γνωστικών στόχων και να διαγνώσει τον τρόπο σκέψης των παιδιών.

Δραστηριότητα 2η

«Μετατρέπω τον πολλαπλασιασμό σε σχήματα»

    1. Να συνδέσουν την πράξη του πολλαπλασιασμού με τις οπτικές αναπαραστάσεις του (κυβάκια)
    1. Να πειραματιστούν με το λογισμικό virtual manipulatives
    1. Να αποδώσουν στο virtual manipulatives, τις οπτικές αναπαραστάσεις συγκεκριμένων πολλαπλασιασμών

Πορεία: Συνεχίζουμε την προβολή της ιστορίας για να είναι ομαλή η μετάβαση στη δεύτερη δραστηριότητα. Οι δύο πρωταγωνιστές, ο Ρόμπερτ και ο Αριθμούλης, συνδέουν τον πολλαπλασιασμό με τις οπτικές αναπαραστάσεις του. Έπειτα, ο εκπαιδευτικός παροτρύνει τα παιδιά να πειραματιστούν σε ομάδες με το virtual manipulatives, ώστε να κατανοήσουν τη δομή του προγράμματος. Μετά το στάδιο του πειραματισμού τους δίνει συγκεκριμένα γινόμενα και τους ζητά να τα αποτυπώσουν στο πρόγραμμα. Αρχικά, τα γινόμενα αφορούν τον πολλαπλασιασμό μονοψήφιων αριθμών και αργότερα διψήφιων αριθμών. Έπειτα, ο εκπαιδευτικός ζητά από τις ομάδες να δουλέψουν συνεργατικά, αναπαριστώντας οπτικά, διάφορα γινόμενα που θέτει ο ένας μαθητής στον άλλο. Ενθαρρύνει επίσης τη μεταξύ τους συζήτηση ώστε να οπτικοποιηθούν επιτυχώς οι πολλαπλασιασμοί.

Αξιολόγηση: Ο εκπαιδευτικός μοιράζει στους μαθητές τα φύλλα αξιολόγησης που περιλαμβάνουν την μετατροπή των οπτικών αναπαραστάσεων σε πράξεις πολλαπλασιασμού και το αντίθετο.

Ψηφιακά και μη ψηφιακά υλικά:

Η χρήση του ψηφιακού και μη ψηφιακού υλικού στηρίζει ουσιαστικά ολόκληρη τη δομή και την ανάπτυξη των δραστηριοτήτων. Η οπτικοποίηση του σεναρίου με τη βοήθεια του προτζέκτορα, οι αριθμομηχανές και το λογισμικό virtual manipulatives αποτελούν τα μέσα για την αποσαφήνιση της μαθηματικής έννοιας του πολλαπλασιασμού και την κατάκτηση των γνωστικών στόχων που τέθηκαν.

Οι αριθμομηχανές σχετίζονται άμεσα με τις καθημερινές βιωματικές εμπειρίες των παιδιών, αν και μέσα στο σχολικό πλαίσιο συνοδεύονται από στερεότυπα που αποτρέπουν παρά ενθαρρύνουν τη χρήση τους (πχ τα παιδιά τεμπελιάζουν, δεν σκέφτονται). Εντούτοις, σήμερα πολλοί συμφωνούν ότι η σωστή χρήση της αριθμομηχανής μέσα στο πλαίσιο μιας διδακτικής παρέμβασης μπορεί να συμβάλει στην εμπέδωση των μαθηματικών. Μακροχρόνιες μελέτες άλλωστε έχουν αποδείξει ότι οι μαθητές που τις χρησιμοποίησαν βελτίωσαν σημαντικά την εννοιολογική κατανόηση μαθηματικών εννοιών και την ικανότητα επίλυσης προβλημάτων. Με αυτή τη λογική εντάχθηκαν στη δραστηριότητα, εξυπηρετώντας τους σκοπούς της διερεύνησης και του πειραματισμού.

Όσο αφορά το virtual manipulatives, πρόκειται για ένα ψηφιακό περιβάλλον, η πρόσβαση στο οποίο δίνει τη δυνατότητα ανάπτυξης επιμέρους μαθηματικών δεξιοτήτων. Ο τρόπος χρήσης του λογισμικού στην δραστηριότητα που περιγράφηκε παραπάνω, δεν απαιτούσε ιδιαίτερες τεχνικές δεξιότητες των μαθητών. Η πρόσβαση σε αυτό είναι ιδιαίτερα απλή και σε καμιά περίπτωση δεν απαιτεί κάποιου είδους εξάσκηση. Η κίνηση του ποντικιού αποτελεί ουσιαστικά την εντολή του χρήστη για την επιτέλεση των πράξεων του πολλαπλασιασμού, οι οποίες αποτυπώνονται στο δεξί μέρος της οθόνης. Το virtual manipulatives εντάσσεται στις «ανοιχτές τεχνολογίες μάθησης», δηλαδή στα περιβάλλοντα εκείνα που παρέχουν στο χρήστη αυτονομία και επιτρέπουν τη δημιουργική σχεδίαση δραστηριοτήτων. Πιο συγκεκριμένα πρόκειται για ένα λογισμικό δυναμικής γεωμετρίας, το οποίο υποστηρίζει τον στόχο της συγκεκριμένης διδακτικής παρέμβασης, δηλαδή τη σύνδεση του πολλαπλασιασμού με την οπτική αναπαράστασή του. Η υλοποίηση των διδακτικών στόχων χωρίς τη χρήση του συγκεκριμένου λογισμικού θα μπορούσε να επιτευχθεί με την ένταξη στη δραστηριότητα απτικού υλικού (κυβάκια), εναλλακτική που θα παρείχε στους μαθητές τη δυνατότητα της βιωματικής εμπλοκής τους και δεν θα υποβάθμιζε το ρόλο της οπτικής αναπαράστασης. Είναι γεγονός πάντως πως η χρήση του ηλεκτρονικού υπολογιστή στη μαθησιακή διαδικασία καθιστά το γνωστικό αντικείμενο πιο ελκυστικό.

Η τεχνολογία μέσα στο πλαίσιο μιας σχολικής τάξης λειτουργεί υποστηρικτικά προς τους μαθητές τόσο με άμεσο όσο και με έμμεσο τρόπο. Η άμεση προσφορά του στην ανάπτυξη της μαθηματικής έννοιας του πολλαπλασιασμού εντοπίζεται στη σύνδεση των πράξεων πολλαπλασιασμού με την οπτική αποτύπωση τους. Η αναπαράσταση ενός γινόμενου με τη μορφή ενός σχήματος, οπτικοποιεί μια αφηρημένη μαθηματική πράξη. Το ψηφιακό υλικό αποτελεί το διαμεσολαβητικό μέσο που μετατρέπει το αφηρημένο σε συγκεκριμένο, που εντάσσει τον πολλαπλασιασμό στην πρακτική εφαρμογή της καθημερινότητας. Από την άλλη πλευρά, η ενασχόληση των μαθητών με το λογισμικό μέσα από την ομαδική εργασία, δημιουργεί κλίμα συνεργατικότητας και τους προσφέρει τη δυνατότητα να συνδιαλέγουν, να διαφωνήσουν, να συμφωνήσουν και στο τέλος να αναπαραστήσουν το γινόμενο δύο αριθμών. Η ανάληψη συγκεκριμένων κάθε φορά ρόλων από τους μαθητές κάνει τη μάθηση δημιουργική. Εντούτοις, ο σχεδιασμός και η εφαρμογή μιας διδασκαλίας δεν βρίσκονται πάντα σε πλήρη αρμονία. Είναι πιθανό η δυνατότητα αυτενέργειας που δίνεται στους μαθητές να δημιουργήσει προβλήματα σε ομαδοσυνεργατικό επίπεδο και να μην γίνουν σεβαστοί οι κανόνες που τίθενται από τον εκπαιδευτικό ως προς τη χρήση του λογισμικού και την ανάληψη ρόλων από τους μαθητές.

Μάθηση και Δράσεις Παιδιών:

Κομβικό σημείο στο σχεδιασμό μιας διδακτικής παρέμβασης αποτελεί η εκ των προτέρων ανάλυση των αλληλεπιδράσεων ανάμεσα στους μαθητές που ο εκπαιδευτικός επιθυμεί να προκαλέσει. Παράλληλα, μεγάλη σημασία έχει να ανιχνευθεί ο τρόπος που οι αλληλεπιδράσεις αυτές θα επηρεάσουν τη μάθηση των παιδιών. Επιχειρώντας την κατηγοριοποίηση των αλληλεπιδράσεων, μπορούμε να ισχυριστούμε ότι μπορούν να λάβουν τις εξής διαστάσεις, τις λεκτικές αλληλεπιδράσεις και τις κοινωνικές αλληλεπιδράσεις.

Στο πλαίσιο των λεκτικών αλληλεπιδράσεων, τα ερωτήματα της άτυπης συνέντευξης, που έχουν ως στόχο να διερευνήσουν τις ανάγκες και τις εμπειρίες των παιδιών αναδύονται μέσα από την αφήγηση του σεναρίου και ουσιαστικά τίθενται δια στόματος των δύο πρωταγωνιστών. Δεν είναι όμως μόνο προφορικά αλλά προβάλλονται μέσω του PowerPoint. Ουσιαστικά, προσπαθούν να ανιχνεύσουν τις γνώσεις των μαθητών για τον πολλαπλασιασμό και τις ιδιότητές του. Οι ερωτήσεις δεν είναι αποκομμένες από την υπόθεση της ιστορίας, αλλά απόλυτα ενταγμένες σε αυτή. Η απάντηση των παιδιών στους γρίφους της ιστορίας επιτρέπει τη συνέχιση της. Τα ερωτήματα της πρώτης δραστηριότητας διατυπώνονται γραπτά και εμπλέκουν τα παιδιά σε μια διαδικασία αναστοχασμού. Έχουν σκοπό να ανιχνεύσουν τις μεταγνωστικές ικανότητες των μαθητών, επιτρέποντας τους να αναλογιστούν τον τρόπο που τους οδήγησε στα συγκεκριμένα αποτελέσματα. Τέλος, τα ερωτήματα της δεύτερης δραστηριότητας τίθενται προφορικά από τον εκπαιδευτικό αλλά και από μαθητή σε μαθητή.

Στο πλαίσιο των κοινωνικών αλληλεπιδράσεων η οργάνωση της τάξης έγινε με τέτοιο τρόπο ώστε να επιτρέπει ταυτόχρονα δράσεις των παιδιών ομαδικές και ατομικές. Η άτυπη συνέντευξη ενθαρρύνει το δημόσιο διάλογο μέσα στην τάξη και δεν αφορά κάθε μαθητή ατομικά. Η πρώτη δραστηριότητα επιτρέπει την ατομική δράση του μαθητή ώστε να διαπιστωθεί η εμπέδωση του γνωστικού αντικειμένου. Η δεύτερη δραστηριότητα είναι ομαδική, επιβάλλει τη συνεργασία της ομάδας, την εναλλαγή ρόλων (κάποιος ρωτάει, κάποιος δημιουργεί τα σχήματα στο virtual manipulatives) και την κοινή προσπάθεια για την κατανόηση της οπτικής αναπαράστασης του πολλαπλασιασμού.

Πίνακας 1: Ανάλυση μαθησιακών δραστηριοτήτων

Ροή Δραστηριοτήτων

Δράση εκπαιδευτικού

Δράση μαθητών

Ρόλος τεχνολογίας

Ρόλος υλικών

Πλαισιοθέτηση

Το σενάριο με πρωταγωνιστές τον Ρόμπερτ και τον Αριθμούλη, εισάγει τα παιδιά στο γνωστικό ζητούμενο της διδακτικής παρέμβασης, τον πολλαπλασιασμό.

Ο εκπαιδευτικός εξηγεί στα παιδιά τις υποχρεώσεις τους κατά την αφήγηση της ιστορίας.

Οι μαθητές αναλαμβάνουν διττό ρόλο: είναι ακροατές της ιστορίας αλλά εμπλέκονται και ενεργά σε αυτή.

Η ιστορία είναι οπτικοποιημένη σε αρχείο ppt και προβάλλεται σε προτζέκτορα.

Αναπαράσταση

Τα ερωτήματα που προκύπτουν μέσα από την αφήγηση της ιστορίας, στοχεύουν στην ανάδυση των άτυπων γνώσεων των παιδιών.

Ο εκπαιδευτικός αναλαμβάνει το ρόλο του αφηγητή της ιστορίας και θέτει τα ερωτήματα με τη «φωνή» των δύο πρωταγωνιστών.

Ο ρόλος των μαθητών είναι ενεργός και συμβάλλει στην εξέλιξη της δράσης, καθώς χρειάζεται να απαντήσουν στις ερωτήσεις των δύο πρωταγωνιστών για να συνεχιστεί η αφήγηση της ιστορίας.

Η ιστορία είναι οπτικοποιημένη σε αρχείο ppt και προβάλλεται σε προτζέκτορα.

Το τετράδιο των μαθηματικών δίνει στους μαθητές τη δυνατότητα να απαντήσουν ατομικά στα ερωτήματα, εκτελώντας -όπου χρειάζεται- στο χαρτί πράξεις πολλαπλασιασμού.

Μαθηματικοποίηση

Τα παιδιά αναλαμβάνουν να φέρουν εις πέρας τις αποστολές που τους ανατέθηκαν από τους δύο πρωταγωνιστές και στη συνέχεια να κάνουν την αυτοαξιολόγησή τους. Τους δίνεται η δυνατότητα να κάνουν τις πράξεις χρησιμοποιώντας, είτε το μυαλό τους, είτε τις υπολογιστικές μηχανές . Στη συνέχεια, δημιουργούν τις οπτικές αναπαραστάσεις διάφορων πολλαπλασιασμών.

Ο εκπαιδευτικός παροτρύνει τα παιδιά να χρησιμοποιήσουν το μυαλό τους, χωρίς όμως να ενοχοποιεί τη χρήση της υπολογιστικής μηχανής. Παράλληλα, στη δεύτερη δραστηριότητα τα ενθαρρύνει να εργαστούν ομαδικά και να αναλάβουν διάφορους ρόλους.

Τα παιδιά πρέπει να αντιληφθούν την συνέχεια των αριθμητικών μοτίβων που προκύπτει μέσα από τον πολλαπλασιασμό συγκεκριμένων αριθμών και να κατανοήσουν τον κανόνα των μηδενικών και την εφαρμογή του. Στη συνέχεια, πρέπει να αντιληφθούν πως μια μαθηματική πράξη πολλαπλασιασμού μπορεί να έχει οπτική αναπαράσταση.

Συνεχίζεται η προβολή της ιστορίας, ώστε το κοινό σενάριο να συνδέσει τις δραστηριότητες με την άτυπη συνέντευξη. Το λογισμικό virtual manipulatives βοηθάει τα παιδιά να συνδέσουν τον πολλαπλασιασμό με την οπτική αναπαράστασή του.

Δημιουργούνται τρεις «κάρτες μαθητή» όπου δίνονται αναλυτικά οι οδηγίες για την ολοκλήρωση των «αποστολών». Το υλικό είναι έγχρωμό και εμπλουτισμένο με εικόνες. Δίνεται στα παιδιά η δυνατότητα χρήσης υπολογιστικής μηχανής, που διευκολύνει τα παιδιά στην εκτέλεση των πράξεων και τους δίνει το χρόνο να κάνουν την αυτοαξιολόγηση τους μέσα από την παρατήρηση των αποτελεσμάτων.

Δημοσιοποίηση

Οι δραστηριότητες ολοκληρώνονται με τη διαδικασία της αξιολόγησης. Βασικός στόχος είναι να αξιολογηθεί ο βαθμός κατάκτησης των γνωστικών στόχων, οι δυσκολίες που συνάντησαν οι μαθητές και οι μεταγνωστικές τους ικανότητες.

Ο εκπαιδευτικός ενθαρρύνει τα παιδιά να απαντήσουν στα ερωτήματα που υπάρχουν στις κάρτες του μαθητή και στα φύλλα εργασίας. Με αυτό τον τρόπο διαπιστώνεται ο βαθμός κατανόησης της διδακτέας ύλης. Παράλληλα, παρατηρεί και καταγράφει την ανταπόκρισή τους κατά τη διάρκεια των δραστηριοτήτων και τις δυσκολίες που συνάντησαν.

Τα παιδιά μέσα από τη διαδικασία αξιολόγησης κάνουν εμφανείς τις δυσκολίες που αντιμετώπισαν. Ο δημόσιος διάλογος στο τέλος των δραστηριοτήτων αποτελεί μία ακόμη ευκαιρία έκφρασης των μαθητών, ώστε να διαπιστωθεί τι λειτούργησε αποδοτικά και τι όχι.

Η χρήση του λογισμικού πριν το μοίρασμα των φύλλων εργασίας, όπου κάθε παιδί αναλαμβάνει να θέσει στην ομάδα του τα δικά του ερωτήματα, αποτελεί μια διαδικασία αξιολόγησης.

Οι κάρτες μαθητή περιλαμβάνουν και την αξιολόγηση της δραστηριότητας. Για τη δεύτερη δραστηριότητας, μοιράζονται στα παιδιά φύλλα εργασίας, όπου καλούνται να μετατρέψουν τις οπτικές αναπαραστάσεις σε πράξεις πολλαπλασιασμού και το αντίθετο.

Εφαρμογή στην πράξη μιας διδακτικής παρέμβασης:

Για να συλλέξουμε και να καταγράψουμε τα δεδομένα, χρησιμοποιήσαμε φύλλα παρατήρησης (παραθέτονται στο παράρτημα), βιντεοκάμερα με την οποία καταγράψαμε την άτυπη συνέντευξη και την εφαρμογή των δραστηριοτήτων και δεν λησμονήσαμε, η κάθε μία από μας, να κρατήσει προσωπικό ημερολόγιο, καθ’ όλη τη διάρκεια των διάφορων φάσεων. Επίσης, καθώς εξελισσόταν αρχικά η άτυπη συνέντευξη και στη συνέχεια η διδακτική παρέμβαση, παρατηρούσαμε την πρόοδο των παιδιών και την συμμετοχή τους στο μάθημα, το κατά πόσο ανταποκρίνονταν στα ερεθίσματα μας και πόσο πρόθυμα ήταν να πειραματιστούν ή να εκφράσουν τους προβληματισμούς τους.

H σχολική τάξη και τα παιδιά:

Το σχολείο που πραγματοποιήσαμε την άτυπη συνέντευξη και τη διδακτική παρέμβαση ήταν το Ολοήμερο Δημοτικό Πειραματικό Σχολείο Πορταριάς Πηλίου. Διέθετε μεγάλο προαύλιο χώρο, όπου τα παιδιά είχαν την δυνατότητα να ψυχαγωγούνται και να αλληλεπιδρούν, ένα χώρο πολυμέσων με προτζέκτορα, όπου εκεί πραγματοποιήθηκαν η άτυπη συνέντευξη και η διδακτική παρέμβαση και μία αίθουσα υπολογιστών για τα μαθήματα πληροφορικής και για την εξάσκηση των παιδιών στον χειρισμό των ηλεκτρονικών υπολογιστών.

Η τάξη δεν ήταν ιδιαίτερα ευρύχωρη, δε διέθετε γωνιές και τα τραπεζάκια, όπου κάθονταν τα παιδιά σε ομάδες, σχημάτιζαν νοερά ένα τετράγωνο. Στην άκρη της τάξης υπήρχαν παγκάκια που προφανώς εξυπηρετούσαν περιστασιακές ανάγκες σε περίπτωση έλλειψης χώρου. Το σύνολο των παιδιών των δύο τμημάτων της τρίτης δημοτικού ήταν συνολικά 24, αλλά την ημέρα της διδακτικής παρέμβασης ήταν παρόντα 23. Τα δυο τμήματα της τρίτης τάξης διέθεταν αγόρια και κορίτσια ηλικίας 8 χρονών, με ένα ποσοστό αλλοδαπών παιδιών. Το κοινωνικο-οικονομικό επίπεδο των οικογενειών των παιδιών ήταν καλό.

Τα παιδιά ανέπτυξαν κοινές εμπειρίες για τη μαθηματική έννοια του πολλαπλασιασμού, μέσω της άτυπης συνέντευξης που πραγματοποιήθηκε δύο μέρες πριν εφαρμοστεί η διδακτική παρέμβαση. Αφού είχαμε αξιολογήσει το επίπεδο των παιδιών ως προς την έννοια του πολλαπλασιασμού και τις ιδιότητες του -μέσω της εξιστόρησης του παραμυθιού με ήρωες τον Αριθμούλη και τον Ρόμπερτ- φροντίσαμε να σχεδιάσουμε ανάλογα την διδακτική παρέμβαση, ώστε να είναι ευχάριστη και να μην είναι αποκομμένη από το σενάριο της άτυπης συνέντευξης. Ο Ρόμπερτ λοιπόν ανέθεσε αποστολές στα παιδιά προκειμένου να τον βοηθήσουν να μάθει τον πολλαπλασιασμό καλύτερα.

Σκοπός της διδακτικής παρέμβασης ήταν να κατανοήσουν τα παιδιά την έννοια του πολλαπλασιασμού και τις ιδιότητες του. Για την επίτευξή του χρησιμοποιήθηκαν υλικά και εποπτικά μέσα (αριθμομηχανή και ηλεκτρονικός υπολογιστής). Η διδακτική παρέμβαση απαιτούσε τη συμμετοχή όλων των παιδιών είτε σε ομάδες ή είτε ως μονάδες. Και στις δύο περιπτώσεις τα παιδιά μπορούσαν να συνεργαστούν, να συμφωνήσουν ή να ανταλλάξουν απόψεις, δοκιμάζοντας ακόμα και το λάθος και επαληθεύοντας το αποτέλεσμα με πολλούς διαφορετικούς τρόπους.

Η συνολική διάρκεια της διδακτικής παρέμβασης ήταν 55 λεπτά. Βασιστήκαμε σε 4 βασικούς άξονες σχεδιασμού:

    • Γνωριμία και ανάλυση της μαθηματικής έννοιας του πολλαπλασιασμού, μέσω της άτυπης συνέντευξης και της διερεύνησης των γνώσεων.
    • Σχεδιασμός διδακτικής παρέμβασης / επιλογή κατάλληλου λογισμικού σύμφωνα με το επίπεδο των παιδιών και τις ήδη κατεκτημένες γνώσεις.
    • Εφαρμογή διδακτικής παρέμβασης και χρησιμοποίηση του ανάλογου λογισμικού.
    • Αξιολόγηση ως προς την πορεία εξέλιξης της διδακτικής παρέμβασης και ως προς το τι κατέκτησαν τα παιδιά– αναστοχασμός τι πήγε καλά και τι δεν πήγε καλά.

Διαδικασίες εφαρμογής της διδακτικής παρέμβασης:

Όταν επισκεφτήκαμε τον χώρο του σχολείου, χρειάστηκε να γίνουν κάποιες σημαντικές αλλαγές στον αρχικό σχεδιασμό μας. Ενώ είχαμε εξασφαλίσει την αίθουσα των υπολογιστών και είχαμε συμφωνήσει με τις εκπαιδευτικούς των δύο τάξεων ως προς την διαθεσιμότητα και την καταλληλότητα της, τελικά δεν κατέστει δυνατό να την χρησιμοποιήσουμε. Καθυστερημένα, οι εκπαιδευτικοί μας πληροφόρησαν ότι ο χώρος δεν θα επαρκούσε για να συμπληρωθούν τα φύλλα εργασίας και ότι η αίθουσα υπολογιστών δεν διέθετε προτζέκτορα τον οποίο εμείς χρειαζόμασταν προκειμένου να προβάλουμε την εξέλιξη του παραμυθιού.

Συγκεντρώσαμε τελικά τα δύο τμήματα της τρίτης τάξης του δημοτικού και μεταφερθήκαμε ξανά, όλοι μαζί στην αίθουσα που διέθετε έναν ηλεκτρονικό υπολογιστή και έναν προτζέκτορα, εκεί όπου είχε διεξαχθεί και η άτυπη συνέντευξη. Αξίζει να σημειωθεί ότι για την εφαρμογή της διδακτικής παρέμβασης χρειάστηκαν ακόμα 3 προσωπικοί υπολογιστές/λάπτοπ. Ο χώρος δεν ήταν επαρκής, ώστε να χωράει τα 23 παιδιά των δύο τάξεων. Σε κάθε θρανίο υπήρχε ένας υπολογιστής όπου τα παιδιά έπρεπε να τον χρησιμοποιούν προσεκτικά εκ περιτροπής, με αποτέλεσμα να αλλάζουν θέση μεταξύ τους συνεχώς, κάτι που δεν βοηθούσε την ομαλή εξέλιξη της διδακτικής παρέμβασης. Έτσι, ενώ τα παιδιά θα μπορούσαν να δουλεύουν σε ομάδες τις οποίες εμείς πιο εύκολα θα μπορούσαμε να κατευθύνουμε και να παρατηρούμε, ο χώρος δεν επέτρεψε κάτι τέτοιο. Η αναταραχή ήταν μεγάλη και η δραστηριότητα δεν εφαρμόστηκε σε ένα περιβάλλον οικείο και ήσυχο, κατάλληλο για την προώθηση της γνώσης και της μάθησης.

Εφόσον συγκεντρώσαμε τα 23 παιδιά στην αίθουσα των πολυμέσων, προβάλλαμε στα παιδιά τη συνέχεια της ιστορίας, όπου ο Ρόμπερτ αναθέτει στα παιδιά αποστολές προκειμένου να τον βοηθήσουν να αντιληφθεί τον κανόνα των μηδενικών και τα αριθμητικά μοτίβα που προκύπτουν από συγκεκριμένους πολλαπλασιασμούς, κάνοντας πράξεις, υπολογίζοντας γινόμενα, με ή χωρίς την βοήθεια του Αριθμομηχανούλη, δηλαδή της αριθμομηχανής. Τα παιδιά είχαν τη δυνατότητα να την χρησιμοποιήσουν, αν τυχόν δυσκολεύονταν να υπολογίσουν με το μυαλό τους κάποια από τα γινόμενα. Τα παιδιά αρχικά δυσανασχέτησαν με τα φύλλα εργασίας. Μοιράσαμε στο κάθε παιδί από ένα φύλλο εργασίας και εξηγήσαμε τι πρέπει να κάνουν.

Η πρώτη αποστολή-δραστηριότητα που έθεσε ο Ρόμπερτ στους μαθητές ήταν να υπολογίσουν κάποια γινόμενα διψήφιων αριθμών, κάνοντας πολλαπλασιασμό, είτε με το μυαλό είτε με την αριθμομηχανή, και τέλος ως αξιολόγηση, στο ίδιο φυλλάδιο καλούνταν να απαντήσουν σε ερωτήσεις όπως το τι παρατηρούν ως προς τα γινόμενα και τους αριθμούς που σχηματίζονται και να καταγράψουν τι συμπεραίνουν. Στόχοι αυτής της δραστηριότητας ήταν να ανακαλύψουν τον κανόνα των μηδενικών και να χρησιμοποιήσουν τον κανόνα των μηδανικών για να πολλαπλασιάσουν διαφόρους αριθμούς με το 10, το 100, το 1.000, το 1.000.000.000.

Αφού ολοκλήρωσαν το πρώτο φύλλο εργασίας, τους μοιράσαμε και το δεύτερο φύλλο, το οποίο ήταν στο ίδιο ύφος, και καλούσε τα παιδιά να συμπληρώσουν κάποια γινόμενα τριψήφιων ή και μεγαλύτερων αριθμών. Στόχοι αυτής της δραστηριότητας ήταν να αναγνωρίσουν τα αριθμητικά μοτίβα που προκύπτουν από τον πολλαπλασιασμό συγκεκριμένων αριθμών και να χρησιμοποιήσουν τα αριθμητικά μοτίβα, ώστε να επιλύουν τους πολλαπλασιασμούς με το μυαλό.

Και στα δύο φύλλα εργασίας που δόθηκαν στην πρώτη δραστηριότητα –αποστολή, κάποια παιδιά χρησιμοποίησαν την αριθμομηχανή και εξέφρασαν ενστάσεις γιατί δεν γνωρίζουν αριθμούς όπως το 1.000.000 ή να πολλαπλασιάζουν τριψήφιους με τριψήφιους ή πολυψήφιους. Οι αριθμομηχανές ήταν λιγότερες από τον αριθμό των παιδιών και έτσι έπρεπε να τις χρησιμοποιούν συνεργατικά, γεγονός που ενεργοποίησε τη συζήτηση και τελικά προκάλεσε φασαρία και σύγχυση.

Στην συνέχεια, η προβολή της ιστορίας στον προτζέκτορα έδειχνε τον Ρόμπερτ να βρίσκεται σε μια θαυμάσια λιλιπούτεια κυβο-χώρα γεμάτη κυβάκια. Όλα ήταν κυβάκια, οι καραμέλες τα ζαχαρωτά… Έτσι θέλαμε να εντάξουμε ομαλά τα παιδιά στην οπτική απεικόνιση του πολλαπλασιασμού, όπως αυτή δίνεται μέσω του εμβαδού (ύψος επί πλάτος). Στην ιστορία δινόταν κάποια εύκολα γινόμενα να τα υπολογίσουν τα παιδιά, μετρώντας στον προτζέκτορα-πίνακα τα κυβάκια και στην συνέχεια υπολογίζοντας το αποτέλεσμα.

Έτσι παρακινήσαμε τα παιδιά να περάσουν στη συνέχεια στους υπολογιστές. Εκεί, είχαμε εγκαταστήσει νωρίτερα το demo του virtual manipulatives. Πιο συγκεκριμένα, εισάγαμε τα παιδιά στον ιστότοπο που αναφέρεται στον πολλαπλασιασμό και στην οπτική του απεικόνιση. Εκεί τα παιδιά, είχαν την δυνατότητα αρχικά να πειραματιστούν με τα γινόμενα και τις οπτικές αναπαραστάσεις που σχηματίζουν, κατευθύνοντας το ποντίκι σωστά και μεθοδευμένα, ώστε να καταλήξουν στα επιδιωκόμενα αποτελέσματα. Στη συνέχεια, δίνονταν προφορικά από εμάς, κάποια τυχαία γινόμενα σε κάθε παιδί με σκοπό για να τα αναπαραστήσει στον υπολογιστή με τη βοήθεια του ποντικιού.

Στόχοι αυτής της δραστηριότητας ήταν να συνδέσουν την πράξη του πολλαπλασιασμού με τις οπτικές αναπαραστάσεις του (κυβάκια), να πειραματιστούν με το λογισμικό virtual manipulatives και να αποδώσουν στο virtual manipulatives, τις οπτικές αναπαραστάσεις συγκεκριμένων γινομένων. Σε αυτή την δραστηριότητα τα παιδιά συνεργάστηκαν επιτυχώς, αντάλλαξαν απόψεις, περίμεναν υπομονετικά την σειρά τους και κάποια από αυτά θέλησαν να σχηματίσουν παραπάνω από ένα γινόμενα, παίζοντας με το ποντίκι ή συμβουλευόμενα κάποιο συμμαθητή τους πώς να το κάνει. Στην συνέχεια ως αξιολόγηση, μοιράσαμε στα παιδιά φύλλα εργασίας στα οποία καλούνταν να ζωγραφίσουν τα τετραγωνάκια, σύμφωνα με το γινόμενο που τους δινόταν από κάτω και να συμπληρώσουν το αποτέλεσμα. Σε ένα δεύτερο φύλλο αξιολόγησης, τα παιδιά καλούνταν να γράψουν το γινόμενο των αριθμών, αφού μετρήσουν τα κυβάκια που ήταν ήδη γραμμοσκιασμένα και σχηματισμένα στο μιλιμετρέ χαρτί. Έτσι μπορούσαμε να αξιολογήσουμε τι αποκόμισαν τα παιδιά από την οπτική αναπαράσταση των γινομένων και πως τη σχηματοποίηση τους σε κυβάκια. Με αυτές τις δραστηριότητες ολοκληρώθηκε η διδακτική παρέμβαση στα δύο τμήματα της τρίτης Δημοτικού.

Προκειμένου να υλοποιηθεί επιτυχώς η διδακτική παρέμβαση, έπρεπε να προβούμε σε συνεννοήσεις που αφορούσαν το πού θα γινόταν η διδακτική παρέμβαση, σε ποια τάξη, πώς θα γινόταν, πόσο θα διαρκούσε, σε τι αναφερόταν. Καθ’ όλη τη διάρκεια της εφαρμογής της δραστηριότητας οι δύο εκπαιδευτικοί των τμημάτων της τρίτης Δημοτικού ήσαν παρούσες, ρωτούσαν τι πρέπει να κάνουν τα παιδιά, αν είναι σωστό που χρησιμοποιούν αριθμομηχανή, πως πρέπει να κάνουν τους υπολογισμούς των γινομένων και πως είναι δύσκολο για αυτά να κάνουν πολλαπλασιασμούς πολυψήφιων αριθμών, αφού δεν έχουν διδαχθεί. Η παρέμβαση αυτή σε συνδυασμό με τον ακατάλληλο χώρο είχε ως αποτέλεσμα να «σαμποτάρει» ως ένα βαθμό ολόκληρη τη φιλοσοφία της διδασκαλίας μας που ήταν η διερευνητική μάθηση. Ωστόσο και οι ίδιες διαπίστωσαν ότι ο χώρος ήταν μικρός σε σχέση με τον αριθμό των παιδιών και πως ήταν δύσκολο να λειτουργήσουμε αποτελεσματικά σε ένα τόσο περιοριστικό πλαίσιο σε συνδυασμό κιόλας με την απουσία πρότερης επαφή με το διδακτικό αντικείμενο και με παιδιά αυτής της ηλικίας.

Διαδικασίες καταγραφής της διδακτικής παρέμβασης:

Κεντρικός στόχος της συγκεκριμένης εργασίας ήταν να κατανοήσουν τα παιδιά τον αλγόριθμο του πολλαπλασιασμού. Για την καταγραφή της διδακτικής παρέμβασης έγινε βιντεοσκόπηση, που στόχευε στην καταγραφή τόσο της συνολικής άποψης της τάξης όσο και των ενεργειών των παιδιών. Ο συνολικός αριθμός των παιδιών ήταν μεγάλος και αυτό καθιστούσε αδύνατο την ταυτόχρονη λήψη όλων των στιγμιότυπων που θα μπορούσαν να αποτελέσουν επαρκές υλικό για την αξιολόγηση και την αποτίμηση. Κατά την διάρκεια της λήψης της διδακτικής παρέμβασης γινόταν μεγάλη φασαρία εντός και εκτός του χώρου της τάξης, καθώς η αίθουσα των πολυμέσων βρισκόταν δίπλα από το γραφείο των καθηγητών και του διευθυντή του δημοτικού σχολείου, χωρίς να υπάρχει κάποια πόρτα που να διαχωρίζει το χώρο, με αποτέλεσμα να προκαλείται μεγάλη σύγχυση και πολυκοσμία. Η μία εκπαιδευτικός της τάξης που κρατούσε τη βιντεοκάμερα παραπονέθηκε πως δεν μπορεί άλλο να μας βοηθήσει κατά τη λήψη και έτσι πέρα από τη διδασκαλία είχαμε να επιλύσουμε και πρακτικά ζητήματα (βρισκόμασταν σε αναζήτηση εθελοντή κάμεραμαν).

Ανάλυση αποτελεσμάτων:

Σύμφωνα με το υλικό που συλλέξαμε, δηλαδή τα φύλλα εργασίας, το βιντεοσκοπημένο μέρος από την άτυπη συνέντευξη και την εφαρμογή της διδακτικής παρέμβασης και το ημερολόγιο παρατήρησης που συντάξαμε, μπορούμε να προβούμε σε κάποια συμπεράσματα.

Μελετώντας τα φύλλα εργασίας παρατηρούμε ότι:

Για το φυλλάδιο-αποστολή 1η της πρώτης δραστηριότητας:

    • Από τα 23 παιδιά στα οποία μοιράστηκε το φύλλο εργασίας, απάντησαν σωστά στις ερωτήσεις αξιολόγησης τα 9 παιδιά.
    • Τα υπόλοιπα παιδιά δεν μπόρεσαν να εστιάσουν σε αυτό που ερευνούσε το φύλλο εργασίας, ώστε να επιτευχθούν οι διδακτικοί στόχοι (να ανακαλύψουν τον κανόνα των μηδενικών και να χρησιμοποιήσουν τον κανόνα των μηδενικών, για να πολλαπλασιάσουν διάφορους αριθμούς με το 10, το 100, το 1.000, το 1.000.000.000).
    • Στην ερώτηση «τι παρατηρούν σχετικά με τα γινόμενα που προκύπτουν» κάποια παιδιά απάντησαν ότι «είναι το ίδιο αποτέλεσμα απλά με τα μηδενικά…».

Για το φυλλάδιο-αποστολή 2η της πρώτης δραστηριότητας:

    • Από τα 23 παιδιά στα οποία μοιράστηκε το φύλλο εργασίας, απάντησε σωστά στις ερωτήσεις αξιολόγησης μόνο 1 παιδί.
    • Τα πιο πολλά παιδιά δεν μπόρεσαν να εστιάσουν σε αυτό που ερευνούσε το φύλλο εργασίας, ώστε να επιτευχθούν οι διδακτικοί στόχοι (να αναγνωρίσουν τα αριθμητικά μοτίβα που προκύπτουν από τον πολλαπλασιασμό συγκεκριμένων αριθμών, να χρησιμοποιήσουν τα αριθμητικά μοτίβα, ώστε να επιλύουν τους πολλαπλασιασμούς με το μυαλό).
    • Στην ερώτηση «τι παρατηρούν σχετικά με τα γινόμενα που προκύπτουν» ένα παιδί απάντησε πως «είναι πολλά ίδια νούμερα στην σειρά».
    • Στην ερώτηση για το «αν μπορούν να βρουν το αποτέλεσμα της πράξης 1111111*1111111 χωρίς βοήθεια από τον αριθμομηχανούλη» κάποια απάντησαν πως «όχι, αλλά κάθετα ίσως υπάρχουν πιθανότητες» και κάποια άλλα υπολόγισαν το σωστό γινόμενο αλλά με τη βοήθεια της αριθμομηχανής.

Η βασική αδυναμία του σχεδιασμού μας ήταν ότι τα γινόμενα 2222*2222και 33*33 δεν βγάζουν τα εμφανή αριθμητικά μοτίβα, όπως υποστήριζαν οι στόχοι. Το φαινόμενο των αριθμητικών μοτίβων παρουσιάζεται μόνο στην περίπτωση του 1 όταν δηλαδή 111*111=12321 κ.ο.κ., οπότε είναι λογικό κάποια παιδιά να μην μπόρεσαν να καταλήξουν στα σωστά συμπεράσματα και να ανακαλύψουν τα αριθμητικά μοτίβα.

Δεύτερη δραστηριότητα

Στη συνέχεια όταν τα παιδιά πέρασαν στους υπολογιστές προκειμένου να έρθουν σε επαφή με τον ιστότοπο virtual manipulatives, καθώς τους λέγαμε προφορικά κάποια τυχαία νούμερα ώστε να τα σχηματίσουν στον ειδικά διαμορφωμένο με τετραγωνάκια πίνακα, όλα σχεδόν τα παιδιά αντιλήφθηκαν τι ζητούσαμε. Κατάφεραν μάλιστα να καταλήξουν στο σωστό γινόμενο ακόμη κι όταν αλλάζαμε τη διάταξη, κάθετη ή οριζόντια. Συνεργάστηκαν μεταξύ τους και υπήρχε αλληλεπίδραση και εποικοδομητική συζήτηση.

Κατά την τελευταία φάση της αξιολόγησης μέσω των φύλλων εργασίας, πολλά από τα παιδιά μέτρησαν σωστά τα τετραγωνάκια και έδωσαν το σωστό γινόμενο. Ακόμα και όταν έπρεπε να απαντήσουν στην ερώτηση σχετικά με την διαφορετική διάταξη στο χαρτί, κάθετη ή οριζόντια, υποστήριξαν πως είναι το ίδιο γινόμενο «όπως και αν βάλεις τους αριθμούς, απλά φαίνονται αντίθετα στο χαρτί». Κάποια από τα παιδιά δεν απάντησαν στην ερώτηση λόγω έλλειψης χρόνου, καθώς είχε ήδη χτυπήσει το κουδούνι και είχαν ήδη κουραστεί να συμπληρώνουν φυλλάδια.

Στην συγκεκριμένη φάση είχαμε ετοιμάσει ένα ακόμα φύλλο αξιολόγησης το οποίο δεν προλάβαμε να μοιράσουμε, όπου ζητούσαμε από τα παιδιά να σχηματίσουν τόσα τετραγωνάκια όσα απαιτούσαν οι αριθμοί, καθώς και να υπολογίσουν το γινόμενο τους.

Η γνωριμία με τα παιδιά και τις εκπαιδευτικούς των δύο τάξεων της τρίτης δημοτικού του Ολοήμερου Πειραματικού Δημοτικού Σχολείου Πορταριάς πραγματοποιήθηκε κατά την εφαρμογή της άτυπης συνέντευξης. Ουσιαστικά, εκεί ήταν η πρώτη δυσκολία που αντιμετωπίσαμε. Ο ακατάλληλος και μικρός χώρος, ο μεγάλος αριθμός των παιδιών, η πρωτόγνωρη επαφή μας με το αντικείμενο της διδασκαλίας δυσκόλεψαν το έργο μας. Κατά την πρώτη επίσκεψη δυσκολευτήκαμε να εγκαταστήσουμε και να συνδέσουμε τον υπολογιστή μας με τον προτζέκτορα καθώς δεν υπήρχαν οι κατάλληλες υποδομές. Τα παιδιά έδειξαν να ενδιαφέρονται για την εξέλιξη της ιστορίας με τους ήρωες και συμμετείχαν στην επίλυση των ερωτήματα που θέτονταν.

Κατά την δεύτερη επίσκεψη μας στο σχολείο, όπου και θα εφαρμοζόταν στην πράξη η διδακτική παρέμβαση, ενώ είχαμε εξασφαλίσει την αίθουσα ηλεκτρονικών υπολογιστών η οποία χωρούσε τα παιδιά πιο άνετα, διαπιστώσαμε ότι δεν διέθετε προτζέκτορα τον οποίο εμείς χρειαζόμασταν προκειμένου να προβάλουμε την εξέλιξη της ιστορίας. Έτσι, εφόσον δεν υπήρχε άλλη επιλογή, η διδακτική παρέμβαση υλοποιήθηκε στον ίδιο ακατάλληλο χώρο. Τα παιδιά κάθονταν στοιβαγμένα στα θρανία, τα οποία δεν μπορούσαν να μετακινηθούν. Κάποια παιδιά δεν είχαν καθόλου θρανίο μπροστά τους και έγραφαν στα πόδια τους, αυτά που απαιτούσε η διδακτική παρέμβαση. Έτσι βρήκαμε δυσκολία ως προς την διαχείριση της τάξης και τη βιντεοσκόπηση των «επεισοδίων» εξαιτίας της φασαρίας. Κάποια στιγμή χρειάστηκε να παρέμβουν οι εκπαιδευτικοί της τάξης και να απειλήσουν τα παιδιά με παραπομπή στον διευθυντή, αν τυχόν ξαναμιλούσαν.

Τα παιδιά είχαν συνηθίσει να συμπληρώνουν καθημερινά φύλλα εργασίας και μόλις αντιλήφθηκαν ότι επρόκειτο να συμπληρώσουν ακόμα ένα ή δύο, διαμαρτυρήθηκαν και δυσανασχέτησαν. Τα θρανία στα οποία δούλευαν οι μαθητές, ήταν πολύ στριμωγμένα και στενά και αυτό είχε σαν αποτέλεσμα να αντιγράφουν, να μιλάνε και να τσακώνονται για το ποιος θα πρωτοπάρει την αριθμομηχανή κ.ο.κ. Εντούτοις, στα σημεία όπου η διδακτική παρέμβαση διέθετε οπτικοακουστικό υλικό μέσω του προτζέκτορα και του ηλεκτρονικού υπολογιστή, τα παιδιά κάθονταν ήσυχα συμμετείχαν στην εξέλιξη της ιστορίας και έκαναν ουσιαστικά σχόλια και παρατηρήσεις.

Τα φύλλα εργασίας που είχαμε ετοιμάσει αποδείχτηκαν όχι και τόσο κατάλληλα για τα παιδιά. Ζητούσαμε πολλές πληροφορίες, ίσως και κάποιες που ακόμα τα παιδιά να μην γνώριζαν να απαντήσουν. Η δυνατότητα που τους δώσαμε να χρησιμοποιήσουν την αριθμομηχανή, αποδείχτηκε άκρως εκμεταλλεύσιμη καθώς όλα τα παιδιά ζητούσαν από μία και ελάχιστα έκαναν προσπάθεια να υπολογίσουν τα γινόμενα με το μυαλό τους. Έγραφαν τα αποτελέσματα μηχανικά στο κατάλληλο σημείο, χωρίς να παρατηρούν τι γράφουν και γιατί το γράφουν. Όσα παιδιά δεν είχαν αριθμομηχανή αντέγραφαν από τα παιδιά που είχαν αριθμομηχανή, χωρίς να παρατηρούν τα γινόμενα που σχηματίζονταν.

Όσον αφορά το μέρος όπου τα παιδιά έπρεπε να περάσουν στους Η/Υ προκειμένου να εξασκηθούν στο virtual manipulatives και να οπτικοποιήσουν γινόμενα σε εμβαδό σχημάτων, τα παιδιά έπρεπε να αλλάζουν συνεχώς θέση μεταξύ τους για να προσεγγίσουν όλα τους υπολογιστές. Αυτό εμπόδιζε την ομαλή ροή των πραγμάτων και δημιουργούσε σύγχυση, φασαρία και κινητικότητα. Ωστόσο φάνηκε να ευχαριστιούνται την ενασχόληση με την υπολογιστή καθώς ήταν κάτι με το οποίο δεν είχαν ασχοληθεί. Ξανά. Στην τελευταία φάση όπου έπρεπε να συμπληρώσουν τα φυλλάδια αξιολόγησης συμβουλεύονταν το virtual manipulatives για να ελέγξουν τα γινόμενα των αριθμών που τους δίνονταν για αναζήτηση. Αυτό έδειξε πως ήξεραν πλέον καλά να χειρίζονται το ποντίκι, το πρόγραμμα, το πώς λειτουργεί και το που μπορεί να τους χρησιμεύσει.

Σε περίπτωση επανασχεδιασμού της διδακτικής παρέμβασης θα φροντίζαμε να ενημερωθούμε νωρίτερα για τον ακριβή αριθμό των παιδιών που επρόκειτο να συμμετάσχουν στη διδακτική παρέμβαση και θα δημιουργούσαμε μικρές ολιγομελείς, ανομοιογενείς ομάδες παιδιών. Σε κάθε μια ομάδα θα δίνονταν από ένα φύλλο εργασίας και μόλις ολοκληρωνόταν θα περνούσαμε στο επόμενο. Εφόσον η διδακτική παρέμβαση προϋπόθετε χρήση Η/Υ και προτζέκτορα, η εξέλιξη της ιστορίας θα προβαλλόταν στο σύνολο της τάξης. Στην κάθε μια ομάδα θα δινόταν ένας ηλεκτρονικός υπολογιστής προκειμένου να εξασκηθεί στο virtual manipulatives και μία αριθμομηχανή. Στο τέλος, όλα τα παιδιά θα συμπλήρωναν τα φύλλα αξιολόγησης και θα κατέληγαν από κοινού σε συμπεράσματα, προκειμένου να διαπιστώσουμε αν οι στόχοι επιτεύχθηκαν.

Εξίσου βασική προϋπόθεση θα ήταν η επίσκεψη στο χώρο, για να κρίνουμε την καταλληλότητα του και να ελέγξουμε τις διαθέσιμες πηγές πληροφοριών και μέσων. Έτσι θα μας δινόταν η ευκαιρία να έχουμε μια πρώτη επαφή με τα παιδιά και τις εκπαιδευτικούς των τάξεων και να τους ενημερώσουμε για το πλαίσιο της διδακτικής παρέμβασης. Αυτή η επίσκεψη προβλεπόταν σύμφωνα με τον αρχικό σχεδιασμό της ομαδικής εργασίας που αναλάβαμε, αλλά εξαιτίας της έλλειψης χρόνου δεν προλάβαμε να την πραγματοποιήσουμε.

Συμπεράσματα:

Η αξιολόγηση αποτελεί όχι μόνο βασικό, αλλά και αναπόσπαστο στοιχείο κάθε διδακτικής παρέμβασης. Περιλαμβάνει τη συνολική αποτίμηση της δουλειάς από όλα τα μέλη της ομάδας εργασίας και τη διεξοδική συζήτηση για το βαθμό επίτευξης των αρχικών στόχων, για το πώς κύλησε η όλη διαδικασία και ποια ήταν τα αποτελέσματα. Το σημαντικότερο όμως είναι ότι επικεντρώνει στην εκτίμηση της εμπειρίας, ατομικά και ομαδικά, και κυρίως στον εντοπισμό των λαθών και των προβλημάτων που ανέκυψαν. Η παιδαγωγική άλλωστε αξία της αυτοαξιολόγησης δεν υποβαθμίζεται, ακόμη κι αν εντοπιστούν αδυναμίες. Αντιθέτως, επιτρέπει η αξιολόγηση μεθόδευση ενός αποδοτικότερου σχεδιασμού στο μέλλον.

Η ολοκλήρωση της διδακτικής παρέμβασης άφησε μία θετική εικόνα. Η διαδικασία που ακολουθήθηκε ήταν βιωματική, δημιουργική και εμπλουτισμένη με εποπτικά μέσα. Το σενάριο που επιλέχθηκε κράτησε αμείωτο το ενδιαφέρον των παιδιών. Οι μαθητές δούλεψαν τόσο ομαδικά όσο και ατομικά, λειτουργώντας σε ένα περισσότερο αυτόνομο και λιγότερο περιοριστικό περιβάλλον. Η διερευνητική άλλωστε μάθηση ήταν και το κύριο ζητούμενο της διδασκαλίας μας. Γι’ αυτό και εστιάσαμε στην παρότρυνση των παιδιών να αναλάβουν πρωτοβουλίες. Η συνεργασία σε γενικές γραμμές κύλησε ομαλά και είχε τα επιθυμητά αποτελέσματα.

Όσο αφορά τους γνωστικούς στόχους, ένα σημαντικό ποσοστό μαθητών αντιλήφθηκε τον κανόνα των μηδενικών και μόλις ένας μαθητής κατάλαβε τα αριθμητικά μοτίβα που προέκυπταν από τους πολλαπλασιασμούς συγκεκριμένων αριθμών (11*11,111*111). Το σίγουρο είναι ότι δεν χρειαζόταν να εντάξουμε στις κάρτες μαθητή τους πολλαπλασιασμούς 222*222, 22222*22222 κτλ γιατί τα μοτίβα ήταν ιδιαίτερα δύσκολα και δεν έγιναν αντιληπτά. Επιπλέον, θα είχαν περισσότερο χρόνο να σκεφτούν το 11*11,111*111. Πολλά παιδιά χρησιμοποίησαν την υπολογιστική μηχανή και άλλα θέλησαν να δοκιμάσουν να κάνουν μόνα τους τις πράξεις, γεγονός που τους αποθάρρυνε καθώς δεν γνωρίζουν ακόμη πολλαπλασιασμό πολυψήφιων αριθμών. Ο ρόλος μας επικέντρωσε στην ενθάρρυνση της παρατηρητικότητας τους. Καταστήσαμε σαφές ότι σκοπός της δραστηριότητας δεν ήταν να εμπλακούν σε μια διαδικασία επίλυσης πράξεων πολλαπλασιασμού, αλλά μέσα από την παρατήρηση να αντιληφθούν τι αλλάζει στο αποτέλεσμα.

Μια βασική αδυναμία που αναπόφευκτα επηρέασε τη διδασκαλία ήταν ο χώρος και η οργάνωσή του. Η μοναδική τάξη στην οποία υπήρχε πρόσβαση στον προτζέκτορα δεν ήταν καθόλου λειτουργική. Ο αριθμός των παιδιών ξεπερνούσε κατά πολύ τον αριθμό που μπορούσε να φιλοξενήσει η αίθουσα. Οι μαθητές ήταν στριμωγμένοι και κάθονταν σε ευθεία διάταξη απέναντι από τον πίνακα, γεγονός που επέτρεπε μια περισσότερο δασκαλοκεντρική διδασκαλία και δεν ευνοούσε το δικό μας σχεδιασμό. Η ομαδοσυνεργατική επιτεύχθηκε με αρκετές δυσκολίες, καθώς ο περιορισμένος αριθμός πριζών δεν ευνοούσε την μετακίνηση των υπολογιστών μας. Κάποια παιδιά μάλιστα με δυσκολία είχαν οπτική επαφή.

Σίγουρα, η χρήση του λογισμικού virtual manipulatives βοήθησε τους μαθητές να αντιληφθούν τον τρόπο που ο πολλαπλασιασμός μπορεί να αποτυπωθεί με σχηματικές αναπαραστάσεις. Πρόκειται για ένα εκπαιδευτικό εργαλείο ιδιαίτερα βοηθητικό, το οποίο χρησιμοποιήθηκε ως συμπλήρωμα και όχι ως υποκατάστατο της δραστηριότητας. Προκάλεσε το ενδιαφέρον των μαθητών και προώθησε την επίτευξη των γνωστικών στόχων με έναν ευχάριστο και διασκεδαστικό τρόπο.

Η χρήση της ψηφιακής τεχνολογίας στην εκπαίδευση αυξάνεται συνεχώς τα τελευταία χρόνια. Προωθείται μάλιστα και στην προσχολική εκπαίδευση. Παρά τις αντιγνωμίες και τους ενδοιασμούς που διατυπώνονται, είναι αλήθεια ότι προσφέρει τεράστιες δυνατότητες για τη διδασκαλία των μαθηματικών εννοιών. Μπορούμε επομένως να υποστηρίξουμε ότι παρουσιάζει διδακτικό/μαθησιακό ενδιαφέρον και ότι η σωστή χρήση της είναι δυνατόν να επιφέρει θετικά αποτελέσματα.

Παράρτημα:

Ημερολόγιο: Γιαννοπούλου Αγγελική

Από την επίσκεψη μου στο δημοτικό πειραματικό σχολείο Πορταριάς, προκειμένου να υλοποιηθεί η προγραμματισμένη διδακτική παρέμβαση στα πλαίσια του μαθήματος, «Τεχνολογία και Μαθηματικά: Παιδαγωγικό Υλικό και Θεματικά Σχέδια Εργασίας Στις Μικρές Ηλικίες», αποκόμισα πολλές νέες εμπειρίες και συναισθήματα. Είναι αλήθεια ότι πρώτη φορά μου δόθηκε η ευκαιρία να βρεθώ σε μία τάξη τρίτης δημοτικού, ως υποψήφια παιδαγωγός, απέναντι σε ένα μεγάλο αριθμό παιδιών που διψούσαν για κατάκτηση νέων δεδομένων και γνώσεων. Η πρώτη μου επαφή μαζί τους πραγματοποιήθηκε κατά την εφαρμογή της άτυπης συνέντευξης, προκειμένου να διερευνήσουμε τις γνώσεις των παιδιών και έφερε ικανοποιητικά αποτελέσματα.

Ωστόσο, αμέσως συνειδητοποίησα πως ο χρόνος, ο χώρος και οι γενικότερες συνθήκες δεν ήταν με το μέρος μας. Η επικοινωνία μας με τις εκπαιδευτικούς της τάξης δεν εξελίχθηκε σε ικανοποιητικό επίπεδο καθώς βρέθηκαν «απέναντι μας», χωρίς να ξέρουν τι κάνουμε, γιατί το κάνουμε, τι έχουμε σπουδάσει και το κατά πόσο μπορούμε να διαχειριστούμε μια τάξη, όντας ακόμα στο πανεπιστήμιο. Σε αυτό το γεγονός ίσως φταίγαμε και εμείς γιατί δεν πραγματοποιήσαμε την προβλεπόμενη συνάντηση γνωριμίας με τις ίδιες, τα παιδιά και τον χώρο, λόγω έλλειψης χρόνου και κακής διαχείρισης των διαπροσωπικών σχέσεων, από μέρους μας. Αξίζει εδώ να αναφέρουμε την αναδιάρθρωση της αρχικής ομάδας, από τέσσερα κορίτσια σε δύο, λόγω ασυμφωνίας χαρακτήρων, πράγμα το οποίο συνετέλεσε αρνητικά ως προς την οργάνωση του σχεδίου, την διαχείριση του χρόνου και την υλοποίηση του μετέπειτα.

Στην άτυπη συνέντευξη τα γεγονότα εξελίχτηκαν ομαλά, η εξιστόρηση του παραμυθιού κέντρισε το ενδιαφέρον των παιδιών, σχεδόν ταυτίστηκαν με τους ήρωες και θέλησαν να συμμετέχουν και αυτά, στην εξέλιξη της ιστορίας. Κατά την εφαρμογή της διδακτικής παρέμβασης φορτώσαμε τα παιδιά με πολλές γνώσεις, μέσω των φύλλων εργασίας και έτσι δεν επιτεύχθηκαν όλοι οι επιδιωκόμενοι στόχοι που είχαμε θέσει εξ ‘αρχής. Εντός της τάξης επικρατούσε ένα χάος, τα παιδιά ήταν ιδιαίτερα ανήσυχα και χρειάστηκε να επέμβουν δραστικά και οι δύο εκπαιδευτικοί των τάξεων.

Αν αναλογιστώ τι δεν πήγε καλά, ίσως θα έπρεπε τελικά να μην αναλάβουμε ένα τόσο μεγάλο ρίσκο, το να αναλάβουμε δηλαδή δύο τάξεις τρίτης δημοτικού, όταν ακόμα (5ο εξάμηνο) δεν είχαμε καν βρεθεί σε τάξη νηπιαγωγείου, ως εκπαιδευτικοί.

Μολαταύτα, βλέποντας την θετική πλευρά των γεγονότων και εξετάζοντας τα με επιείκεια, απόκτησα εμπειρίες πρωτόγνωρες, αλησμόνητες και ευχαριστώ που μου δόθηκε η ευκαιρία, μέσα από το μάθημα, να ανοίξω τους ορίζοντες μου και να τολμήσω πράγματα ανύποπτα.

Ημερολόγιο: Κολίτσα Χρυσούλα

Η διδασκαλία σε δημοτικό σχολείο ήταν μια εμπειρία οικεία σε μένα. Εντούτοις, αντιλήφθηκα ότι ο χώρος και η οργάνωσή του είναι ο «τρίτος παιδαγωγός» στην εκπαιδευτική διαδικασία. Σίγουρα, υπήρχαν «προβληματικά» σημεία στο σχεδιασμό, αλλά θεωρώ πως όλα θα είχαν πάει καλύτερα αν βρισκόμασταν σε καταλληλότερη αίθουσα. Τα παιδιά θα είχαν αντιληφθεί το σκοπό της διδακτικής παρέμβασης και θα απαντούσαν επιτυχώς. Παρ’ όλα αυτά δεν πρέπει να υποβαθμίζουμε την αξία της αυτοαξιολόγησης και του αναστοχασμού, που μόνο θετικά μπορεί να λειτουργήσουν σε επόμενες διδασκαλίες.

Βιβλιογραφία : 

Ζαχαρός, Κώστας, Οι μαθηματικές έννοιες στην προσχολική εκπαίδευση και η διδασκαλία τους, Μεταίχμιο, Αθήνα

Κολέζα, Ευγενία, Γνωσιολογική και διδακτική προσέγγιση των στοιχειωδών μαθηματικών εννοιών, Leader Books, Αθήνα 2000

Κυνηγός, Χρόνης, Το μάθημα της διερεύνησης, Ελληνικά Γράμματα, Αθήνα 2006

Ντολιοπούλου, Έλση, «Ο ηλεκτρονικός υπολογιστής στην προσχολική τάξη», Παιδαγωγική Επιθεώρηση, 2008, σελ. 97-115

Magnus, Enzensberger, Το Πειραχτήρι των αριθμών, Ψυχογιός, Αθήνα 2000

Van de Walle, John, Διδάσκοντας μαθηματικά, Επίκεντρο, Αθήνα 2007