Χωρικές έννοιες, Πώς αντιλαμβάνονται τα παιδιά το χώρου που τους περιβάλλει

Οι δεξιότητες στο χώρο στρέφονται προς δύο κυρίως κατευθύνσεις. Η πρώτη ασχολείται με το χώρο και συνδέεται με την εξελικτική Ψυχολογία, σύμφωνα με την οποία οι πρώτοι μετασχηματισμοί του παιδιού είναι αυτοί που διατηρούν τις τοπολογικές ιδιότητες των αντικειμένων και μόνο. Αργότερα το παιδί είναι ικανό να μεταφέρει στο δικό του αναπαραστασιακό χώρο τις ευκλείδειες ιδιότητες των αντικειμένων. Η δεύτερη ασχολείται με τη Γεωμετρία και έχει ως αντικείμενο δεξιότητες και διαδικασίες, όπως αυτές του προσανατολισμού. Προσανατολισμός για το παιδί στο χώρο σημαίνει ότι κατευθύνεται αρχικά με ένα σύστημα αναφοράς επικεντρωμένο στο σώμα του και αργότερα μεταφέρει το σύστημα αναφοράς έξω από το σώμα του. Το παιδί βλέπει τον εαυτό του (το Εγώ του) και τα πράγματα του εξωτερικού κόσμου σε αλληλεξάρτηση μέσα στο χώρο και αυτοδιευθύνεται-αυτοκατευθύνεται μέσα στο χώρο:

1. αξιολογεί τις κινήσεις του από χωροχρονική άποψη

2. τοποθετείται μέσα στο χώρο

3. ενεργεί και περνάει σε δραστηριότητες (Κοντοδήμας,1986).

Σύμφωνα με το Metleau-Ponty με το σώμα μου συνειδητοποιώ τα εξωτερικά αντικείμενα, τα χειρίζομαι, τα εποπτεύω και τα περιβάλλω. Το παιδί ανακαλύπτοντας το χώρο (ετερογνωσία), αυτοανακαλύπτεται (αυτογνωσία). Οι πρώτες χωρικές σχέσεις που παρατηρεί το παιδί και διατηρεί και στο σχέδιό του είναι οι τοπολογικές ιδιότητες για την παιδική αναπαράσταση του χώρου και οι σχέσεις όπως εσωτερικό, εξωτερικό, σύνορο κ.α (Πατρώνης, 2001). Οι τοπολογικές σχέσεις αφορούν αμοιβαίες σχέσεις αντικειμένων, χωρίς κάποιο να παίζει έναν ιδιαίτερο ρόλο ένα από τα δύο αντικείμενα. Στις τοπολογικές σχέσεις αντιστοιχούν καταστάσεις στις οποίες δεν παρεμβαίνει η γενική μορφή των αντικειμένων ή τα μεγέθη αλλά ο εγκλεισμός, ο διαχωρισμός, η γειτνίαση, η συνέχεια, η διαδοχή ή η επαφή περιγραμμάτων και σημείων.

Χωρομαθηματικές έννοιες –τοπολογικές, προβολικές και μετρικές ή ευκλείδειες ιδιότητες, Παιδί και αγωγή στο νηπιαγωγείο

Η έρευνα στον τομέα των Επιστηµών του Ανθρώπου έδειξε ότι ο υλικός χώρος, προϊόν της ανθρώπινης εργασίας και του πολιτισμού, έχει µια πολυδύναμη ποιότητα, ιδιαίτερα ενδιαφέρουσα για την αγωγή. Πέρα από τα γεωμετρικά του γνωρίσματα, ο υλικός χώρος συνδέεται µε ανθρωποκεντρικά περιεχόμενα και διαδικασίες που παραπέµπουν στην πολιτιστική και οικονοµική διάσταση µιας συγκεκριµένης κοινωνίας (Chombart de Laue, 1975, 1988). Στο πλαίσιο αυτό η σχέση παιδιού-υλικού χώρου αποκτά µια νέα σηµασία για την παιδαγωγική διαδικασία. Ο υλικός χώρος µπορεί να λειτουργήσει πολυεπίπεδα:

• ως πηγή πληροφορίας(και ερεθισµάτων µάθησης) σχετικά µε αισθητικά, κοινωνικά, πολιτισµικά χαρακτηριστικά της κοινωνίας

• ως πηγή ερεθισµάτων µάθησης για την υλική και γεωµετρική ποιότητα του φυσικού περιβάλλοντος(διάσταση, σχήµατα, όγκοι, µορφές, κ.λπ.)

• ως πεδίο δραστηριοτήτων και επικοινωνίας

Το παιδί βρίσκεται αντιμέτωπο µε την υλική διάσταση του κόσµου και των φαινοµένων, την οποία και βιώνει µε το δικό του τρόπο: σχηµατίζει υποκειµενικά συστήµατα ερµηνείας και αναπαράστασης της πληροφορίας που προσλαµβάνει, επενδύοντάς τα µε τα δικά του συναισθηµατικά και πολιτισµικά δεδοµένα. Έτσι, μέσα από τις δραστηριότητες και πρακτικές του, το παιδί δηµιουργεί "τόπους", δηλαδή υποκειµενικές εκδοχές του υλικού του περίγυρου οι"τόποι" αυτοί αποτελούν υποκειµενικά υλικά περιβάλλοντα προσαρµοσµένα απόλυτα στα χαρακτηριστικά του παιδιού και στις δυνατότητές του να επικοινωνίσει και να κατανοήσει το χωρο-πολιτισµικό του περίγυρο. Εδώ πρέπει να τονιστεί ότι η όλη αυτή διαδικασία πρόσληψης ερεθισµάτων και βίωσης δραστηριοτήτων και επικοινωνίας στο χώρο θα ήταν αδύνατη χωρίς τη συµµετοχή του σώµατος. Tο σώµα του παιδιού είναι κι αυτό ένα στοιχείο χώρου, ενδιάµεσος κρίκος στην αλυσίδα της διαδικασίας επικοινωνίας του µε τον κόσµο και τα φαινόµενα. Μια τέτοια θεώρηση του υλικού χώρου, λοιπόν, αναδεικνύει τις προοπτικές της παιδαγωγικής αξιοποίησης της σχέσης παιδιού-χώρου. Οι προς διδασκαλία έννοιες µπορούν να εκφραστούν µέσα από διαδικασίες οργάνωσης και χρησιμοποίησης του υλικού περιβάλλοντος και να προσληφθούν από το παιδί χάρη στην παιδαγωγική σχέση του µε το χώρο. Από διδακτική ιδίως άποψη, µπορούµε να θεωρήσουµε ότι οι "τόποι" που σχηµατίζει το παιδί αποτελούν το υλικό στήριγµα της Ζώνης Επικείμενης Ανάπτυξής του (Γερµανός, 1993).

Από µαθηµατική άποψη, οι"σχέσεις χώρου" εκφράζουν τις συσχετίσεις των αντικειµένων του υλικού χώρου στις οποίες εµπλέκεται το υποκείµενο-παιδί. Η προσέγγιση της δραστηριότητας του παιδιού µε όρους "σχέσεων χώρου" µας επιτρέπει να προχωρήσουµε σε αναλύσεις και οµαδοποιήσεις των κοινών χαρακτηριστικών των εννοιών χώρου και των κοινών τρόπων αντιµετώπισής τους µε διδακτικούς στόχους (Tζεκάκη, 1994). Οι οµαδοποιήσεις αυτές στηρίζονται στα µαθηµατικά χαρακτηριστικά του χώρου και συγκροτούνται πάνω στις τρεις βασικές κατηγορίες ιδιοτήτων χώρου: τις τοπολογικές, τις προβολικές και τις µετρικές ή ευκλείδειες ιδιότητες (Tζεκάκη, 1994). Η ανάγκη του παιδιού να γνωρίσει το χώρο για να µπορέσει να λειτουργήσει µέσα σ'αυτόν το κατευθύνει σε σύνθετες νοητικές διεργασίες, οι οποίες περιλαµβάνουν οµαδοποιήσεις, συσχετισµούς και συγκρίσεις ιδιοτήτων και σχέσεων (Vergnaud, 1981). Οι διαδικασίες αυτές οδηγούν το υποκείµενο να αποκτήσει τη αίσθηση του χώρου και το προσανατολίζουν προς µία ολοκληρωµένη και αντικειµενική αντίληψή του(Ρecheux, 1990).

Όπως αναφέρθηκε, το σώµα του παιδιού αποτελεί το ενδιάµεσο από το οποίο περνάει ο σχηµατισµός της αίσθησης του χώρου. Παράλληλα, η δραστηριοποίηση του παιδιού µέσα στον υλικό χώρο και η αντιµετώπιση πολύµορφων χωρικών καταστάσεων συµβάλλει στη συγκρότηση της αντικειµενικής αντίληψης που επιδιώκεται(Γερµανός, Tζεκάκη). Από την προσέγγιση αυτή γίνεται φανερή η σηµασία της ανάπτυξης των εννοιών χώρου µέσα από τις εµπειρίες του ίδιου του παιδιού στο υλικό περιβάλλον. Οι εµπειρίες αυτές, που βιώνονται αυθόρµητα, µπορούν να αποτελέσουν αντικείµενο διδακτικού σχεδιασµού και να συγκροτηθούν σε ειδικές καταστάσεις για κάθε κατηγορία χωρικών σχέσων που αντιµετωπίζεται (Γερµανός, Germanos, Ιkonomou, Tzekaki, 1993).

Πρωτογενές επίπεδο μαθηματικών εννοιών

Στην προσχολική ηλικία οι έννοιες που αναπτύσσουν τα παιδιά αντιστοιχούν σε ένα πρωτογενές επίπεδο κατανόησης, χρήσης και εφαρμογής των μαθηματικών εννοιών, κατά το οποίο οι έννοιες εμπλέκονται στη δράση του παιδιού, αλλά το ίδιο δεν τις γνωρίζει, ούτε τις κατονομάζει ακόμα (Chevallard,1986). H διδασκαλία μαθηματικών εννοιών στο Νηπιαγωγείο βοηθά τα παιδιά να αναπτύξουν έννοιες και διαδικασίες μέσω των οποίων θα αντικειμενοποιηθεί η εμπειρία τους και θα τους δοθεί η ευκαιρία να γνωρίσουν, να αντιμετωπίσουν, να ερμηνεύσουν, να κατανοήσουν και να ελέγξουν τον κόσμο που τα περιβάλλει (Τζεκάκη, 2002). Το περιβάλλον μάθησης που δομείται στο χώρο του Νηπιαγωγείου ευνοεί τα παιδιά να μάθουν με ποικίλους τρόπους: με ατομικό και κοινωνικό παιχνίδι, με μίμηση άλλων, με εξερευνήσεις, με ομαδικές δραστηριότητες (Woodhead, 1999). Στον εκπαιδευτικό δίνεται η ευκαιρία να υποστηρίζει τις αυθόρμητες εκδηλώσεις παιγνιδιού των παιδιών, να διδάσκει δεξιότητες πολιτιστικά ενταγμένες στην καθημερινότητά τους, να ενθαρρύνει αξίες αναμενόμενης συμπεριφοράς από την κοινωνία και να τα βοηθά να ερμηνεύουν τις πολυπλοκότητες του κοινωνικού τους περιβάλλοντος (Χιονίδου,2002).

Επίπεδα γεωμετρικής σκέψης κατά van Heile

Τα παρακάτω επίπεδα γεωμετρικής σκέψης, κατά τη θεωρία του van Heile, περιγράφουν πώς κατανοούμε το χώρο που μας περιβάλλει. Η παρακάτω θεωρία είναι ο παράγοντας που επηρεάζει το πρόγραμμα σπουδών για το μάθημα της γεωμετρίας στις Η.Π.Α., αλλά και σε άλλες χώρες:

επίπεδο 0: νοερή απεικόνιση

Τα αντικείμενα της σκέψης είναι τα σχήματα και η μορφή τους, δηλαδή με τι μοιάζουν. Τα παιδιά σ’ αυτό το επίπεδο μπορούν να κατονομάζουν, να αναγνωρίζουν και να κατηγοριοποιούν τα σχήματα βάσει των οπτικών τους χαρακτηριστικών. Η εμφάνιση ενός σχήματος παίζει κυρίαρχο ρόλο στο επίπεδο αυτό και έτσι, μπορεί να υπερισχύσει των ιδιοτήτων του σχήματος, και τα παιδιά θα κατατάξουν τα σχήματα βασιζόμενα στη μορφή τους. Τα παιδιά μπορούν να παρατηρήσουν, να συγκρίνουν, να κατατάξουν και να ομαδοποιήσουν τα σχήματα βάσει του κατά πόσο αυτά φαίνονται όμοια. Γενικός στόχος είναι η διερεύνηση του τρόπου με τον οποίο τα σχήματα παρουσιάζουν μεταξύ τους ομοιότητες και διαφορές και η κατηγοριοποίηση των σχημάτων βάσει αυτών των ιδεών.

επίπεδο 1: ανάλυση

Τα αντικείμενα της σκέψης είναι περισσότερο κατατάξεις σχημάτων παρά μεμονωμένα σχήματα. Τα παιδιά σ’ αυτό το επίπεδο μπορούν να κατηγοριοποιούν τα σχήματα βάσει των βασικών ιδιοτήτων τους. Μπορούν να εξετάζουν όλα τα σχήματα μέσα σε μια ομάδα παρά το κάθε σχήμα μόνο του. Εστιάζοντας σε μία κατηγορία σχημάτων μπορούν να αναγνωρίσουν τα βασικά χαρακτηριστικά του σχήματος και να του αποδώσουν κάποιες ιδιότητες (π.χ. το τετράγωνο είναι τετράγωνο γιατί έχει τέσσερις πλευρές ίσες και παράλληλες και τέσσερις γωνίες). Σ’ αυτό το επίπεδο, τα παιδιά βγάζοντας συμπεράσματα για τις ιδιότητες ενός μεμονωμένου σχήματος μπορούν να εντάξουν και τα υπόλοιπα ίδια σχήματα σ’ αυτή την κατηγορία βάσει των βασικών χαρακτηριστικών και λιγότερο βάση του μεγέθους, του ύψους κλπ.

επίπεδο 2: άτυπα συμπεράσματα

Τα αντικείμενα της σκέψης είναι οι ιδιότητες των σχημάτων. Τα παιδιά σ’ αυτό το επίπεδο μπορούν να αναπτύξουν σχέσεις μεταξύ δύο ή όλων των ιδιοτήτων ενός σχήματος. Έχοντας τα παιδιά κατανοήσει κάποιες βασικές ιδιότητες των σχημάτων, μπορούν να τα κατηγοριοποιούν βάσει μίας ή δύο ιδιότητας και χρησιμοποιώντας λιγότερα χαρακτηριστικά τους (π.χ. εάν είναι τετράγωνο, τότε όλες οι γωνίες του είναι ορθές). Τα προϊόντα σκέψης των παιδιών στο επίπεδο αυτό είναι οι σχέσεις ανάμεσα στις ιδιότητες των γεωμετρικών αντικειμένων.

επίπεδο 3: συμπεράσματα

Τα αντικείμενα της σκέψης είναι οι σχέσεις ανάμεσα στις ιδιότητες των γεωμετρικών αντικειμένων. Στο προηγούμενο επίπεδο οι κατηγοριοποιήσεις των σχημάτων λόγω των ιδιοτήτων τους γινόταν μέσα από εικασίες. Αντίθετα, στο επίπεδο αυτό τα παιδιά ψάχνουν ένα σύστημα λογικής, με αξιώματα, πορίσματα, ορισμούς και θεωρήματα, από το οποίο μπορούν να προκύψουν και άλλες αλήθειες. Στο επίπεδο 3, τα παιδιά εκτιμούν την ανάγκη να αποδείξουν τα χαρακτηριστικά ενός σχήματος με μία σειρά συμπερασματικών επιχειρημάτων, ενώ στο επίπεδο 2 το παιδί δέχεται το επιχείρημα χωρίς να έχει την ανάγκη απόδειξής του.

επίπεδο 4: μαθηματική αυστηρότητα

Τα αντικείμενα της σκέψης είναι τα συμπερασματικά αξιωματικά συστήματα για τη γεωμετρία. Στο επίπεδο αυτό, τα αντικείμενα προσοχής είναι τα ίδια τα αξιωματικά συστήματα και όχι απλά τα συμπεράσματα μέσα σε ένα σύστημα. Αυτό είναι το επίπεδο ενός φοιτητή μαθηματικών που μελετά τη γεωμετρία ως κλάδο της μαθηματικής επιστήμης. Τα προϊόντα σκέψης στο επίπεδο 4 είναι οι συγκρίσεις και αντιπαραθέσεις ανάμεσα στα διαφορετικά αξιωματικά συστήματα της γεωμετρίας.

Χαρακτηριστικά των επιπέδων van Heile

Τα προϊόντα σκέψης κάθε επιπέδου είναι ταυτόσημα με τα αντικείμενα σκέψης του επόμενου επιπέδου. Οι ιδέες πρέπει να δημιουργηθούν κατά τέτοιο τρόπο ώστε οι σχέσεις ανάμεσα σ’ αυτές τις ιδέες να γίνουν σημείο εστίασης του επόμενου επιπέδου. Έτσι, δημιουργούνται τέσσερα χαρακτηριστικά σχετικά με τα επίπεδα σκέψης:

1. Τα επίπεδα είναι διαδοχικά.

2. Τα επίπεδα δεν εξαρτώνται από την ηλικία, με την έννοια των αναπτυξιακών σταδίων του Piaget.

3. Η γεωμετρική εμπειρία είναι ο μεγαλύτερος και μοναδικός παράγοντας που επηρεάζει την πρόοδο από το ένα επίπεδο στο άλλο.

4. Όταν η διδασκαλία ή η γλώσσα βρίσκονται σε ένα επίπεδο μεγαλύτερο από εκείνο του παιδιού, τότε θα υπάρξει μία έλλειψη επικοινωνίας.

Διδακτική προσέγγιση των μαθηματικών εννοιών

Τα χαρακτηριστικά των μαθηματικών εννοιών δίνουν τα κριτήρια και το επίπεδο κατάκτησής τους από το παιδί. Οι ιδιαιτερότητές τους, οι συνθήκες ανάπτυξής τους, το εννοιολογικό πλαίσιο αναφοράς, οριοθετούν την έκταση και το βάθος στο οποίο μπορεί να επεκταθεί μια ενδεχόμενη μάθηση. H κατάσταση της μαθηματικής γνώσης αποτελεί μία διαρκή διαδικασία επαναδόμησης, όπου η καινούργια γνώση δεν προκαλεί μόνο αύξηση της ποσότητας της γνώσης αλλά και επαναδιάταξη της ήδη προϋπάρχουσας (Κολέζα, 2000). Η αποκτημένη γνώση εξαρτάται από το πλαίσιο μέσα στο οποίο αποκτιέται και επηρεάζει τη μετέπειτα γνωστική πορεία του παιδιού. Η προσέγγιση των εννοιών μέσα από διαθεματικές προσεγγίσεις δημιουργεί ένα κράμα γνωστικών αντικειμένων μέσα από το οποίο η έννοια αποκτά νόημα και μεγαλύτερη αξία για το παιδί (Σιακαλλή,1999). Η ποικιλία από θεματικές ενότητες που μοιράζονται την ίδια εννοιολογική τοποθέτηση συμβάλλει στη βαθύτερη κατανόηση και αποτελεί μια προσπάθεια σύνθεσης και σύνδεσης μαθημάτων, στόχων και δραστηριοτήτων (Erickson,1995). H γνώση προσεγγίζεται ανάμεσα στις διαφορετικές γνωστικές περιοχές μέσα από το παιχνίδι, τη διερεύνηση, την αξιοποίηση διαφόρων πηγών πληροφόρησης, τη συζήτηση, την ανταλλαγή απόψεων, τη δημιουργία, την παρουσίαση ιδεών και στηρίζεται στις προϋπάρχουσες γνώσεις, στα βιώματα και τις εμπειρίες των παιδιών (Γκλιάου, 2002).

Όταν οι ενήλικοι προσπαθούν να επιβάλουν μαθηματικές έννοιες σε ένα παιδί πρόωρα, η μάθησή του είναι καθαρά λεκτική. Η αληθινή κατανόηση αυτών των εννοιών συμβαδίζει με τη νοητική του ανάπτυξη (Hughes,1999). Τα στάδια νοητικής ανάπτυξης στη θεωρία του Piaget, στις σημερινές κοινωνικές συνθήκες έχουν περιορισμένη εφαρμογή, γιατί τα στάδια δε διαχωρίζονται από ακριβή όρια, αν και οι μεταβατικές καταστάσεις ανάμεσά τους γίνονται βαθμιαία. Οι τρόποι σκέψης επίσης ενός παιδιού ποικίλουν μέσα στις διάφορες καταστάσεις εμπειρίας. Επιπλέον, όταν έχουμε να κάνουμε με μεγάλες ομάδες παιδιών, θα υπάρχουν παιδιά διαφόρων σταδίων μέσα στην ίδια ομάδα. Σε μια τάξη νηπίων μερικά θα παρουσιάζουν προεννοιακή σκέψη, άλλα ενορατικές παραστάσεις και μερικά θα ενεργούν με συγκεκριμένες ενέργειες (Ρίτσμοντ, 1970).

Σύμφωνα με τη θεωρία του Vygotsky ο προσδιορισμός του βαθμού νοητικής ανάπτυξης του παιδιού γίνεται όχι μόνο με τη βοήθεια του νοητικού επιπέδου στο οποίο βρίσκεται αλλά και με βάση τη «ζώνη της επικείμενης ανάπτυξής του». Το παιδί επομένως δεν πρέπει να διδάσκεται στο σχολείο μόνο αυτό που μπορεί να κάνει αυτοδύναμο αλλά αυτό που του είναι προσιτό με τη συνεργασία του δασκάλου και υπό την καθοδήγησή του. Το βασικό θέμα στη διδασκαλία είναι ακριβώς αυτό το καινούργιο που μαθαίνει το παιδί. Η ζώνη της επικείμενης ανάπτυξης, η οποία καθορίζει την περιοχή των προσιτών για το παιδί μεταβάσεων, είναι ακριβώς το καθοριστικό στοιχείο της διδασκαλίας.

Στάδια αναπαράστασης του εξωτερικού κόσμου

Ο Bruner διατύπωσε περισσότερο τις επιστημονικές του θέσεις ως «μια θεωρία διδασκαλίας» και όχι ως μια «θεωρία μάθησης». Όπως επισημαίνει «μια θεωρία διδασκαλίας εμπεριέχει και τις θεωρίες μάθησης και εξέλιξης καθώς επίσης και τη φύση του ιδιαίτερου αντικειμένου που θα διδαχθεί» (Κολιάδης,1997). Ο Bruner δέχεται ότι η γνωστική ανάπτυξη του ατόμου ακολουθεί μια σειρά από επάλληλα εξελικτικά στάδια. Κάθε επόμενο στάδιο αποτελεί έναν πολυπλοκότερο τρόπο εσωτερικής αναπαράστασης της εξωτερικής πραγματικότητας και περιγράφει τρεις τρόπους αναπαράστασης της γνώσης:

1. Πραξιακή αναπαράσταση: το παιδί μαθαίνει μέσα από τη δράση, τη μίμηση και το χειρισμό των αντικειμένων (αισθησιοκινητικό στάδιο στον Piaget).

2. Εικονιστική αναπαράσταση: το παιδί αναπαραστά τον εξωτερικό κόσμο μέσω εσωτερικών πνευματικών εικόνων. Δεν υπάρχει όμως πλήρης διαχωρισμός ανάμεσα στο εξωτερικό αντικείμενο και στο αντίστοιχο εσωτερικό σύμβολο. Γι΄ αυτό θα πρέπει να χρησιμοποιείται μεγάλη ποικιλία από εποπτικά μέσα κατά τη διάρκεια της διδασκαλίας (προεννοιολογικό στάδιο και στάδιο των συγκεκριμένων λογικών πράξεων του Piaget).

3. Συμβολική αναπαράσταση: το παιδί αναπαριστά την εξωτερική πραγματικότητα με αφηρημένα σύμβολα τα οποία μπορεί να χειρίζεται εσωτερικά, όπως λέξεις, μαθηματικά σύμβολα, σήματα κ.λ.π. (στάδιο των συγκεκριμένων λογικών πράξεων και στάδιο της αφαιρετικής σκέψης του Piaget).

Σύμφωνα με τη θεωρία κατασκευής της γνώσης η μάθηση των μαθηματικών ερμηνεύεται είτε ως μια διαδικασία ατομικής οικοδόμησης- ριζοσπαστικός κονστρουκτιβισμός- είτε ως μια διαδικασία κοινωνικοποίησης στις μαθηματικές σημασίες και τεχνικές της ευρύτερης κοινωνίας -κοινωνικο-πολιτισμικός κονστρουκτιβισμός-( Κασιμάτη,2001). Σύμφωνα με τους κονστρουκτιβιστές (συνέχεια του Piaget) η μαθηματική μάθηση είναι μια διαδικασία εννοιολογικής αναδιοργάνωσης. Για τους κοινωνικοπολιτισμικούς (συνέχεια του Vygotsky) η μάθηση είναι μια διαδικασία κοινωνικο-πολιτισμικής μεταφοράς. Ο Cobb (1994) υπογραμμίζει ανάμεσα στις δύο προσεγγίσεις, οριακές ερμηνευτικές διαστάσεις, αφού η σχέση μεταξύ της αμοιβαίας οικοδόμησης της κοινωνικής γνώσης και της ιδιαίτερης εμπειρίας της κοινωνικής ζωής είναι διαλεκτική.

Σχέση της ανάπτυξης των χωρικών εννοιών στην απόκτηση της κατανόησης των τοπικών προσδιορισμών

Όσον αφορά τη σχέση της ανάπτυξης των χωρικών εννοιών στην απόκτηση της κατανόησης των τοπικών προσδιορισμών, έχουν διατυπωθεί πολλές απόψεις, οι οποίες παρουσιάζουν δυσκολίες να υποστηρίξουν αυτήν τη σχέση. Ο Piaget (1972) υποστηρίζει ότι οι γλωσσικές δεξιότητες είναι ένας συλλογισμός πολύ έντονης γνωστικής ικανότητας. Ενώ, πολλοί ερευνητές έχουν λογικά υποστηρίξει ότι η απόκτηση των τοπικών προσδιορισμών από τα παιδιά εξαρτάται από την εννοιολογική τους ανάπτυξη (Johnson & Slobin, 1979; Slobin 1973; Washington & Neremore, 1978), μερικές μελέτες προσπάθησαν να διαγράψουν αυτήν τη σχέση.

Η Windmiller (1976) σε μια έρευνα που εφάρμοσε σε 24 παιδιά ηλικίας 2,5 – 7,5 χρόνων με δραστηριότητες απλής αναγνώρισης χαρακτηριστικών σχετικά με τους προσδιορισμούς «μπροστά» και «πίσω» και τοποθέτησης του αντικειμένου σε στενή εγγύτητα με τα κατάλληλα χαρακτηριστικά, βρήκε ότι οι τοπολογικοί προσδιορισμοί γίνονται ευκολότερα κατανοητοί από ότι οι συνδυασμοί προβολικών και ευκλείδειων προσδιορισμών και ότι η κατανόηση των παιδιών για τους τελευταίους αυτούς προσδιορισμούς εξαρτάται από την ανάπτυξη των χωρικών εννοιών. Η κατανόηση και η παραγωγή προβολικών προσδιορισμών τόπου είναι ευκολότερη όταν χρησιμοποιούνται μετωπικά αντικείμενα και οι προβολικοί αυτοί προσδιορισμοί του τόπου θα μπορούσαν να είναι τοπολογικοί, από τη στιγμή που το παιδί θα μπορούσε να πετύχει στο έργο. Η ταξινόμηση των τοπικών προσδιοριστικών ως αποκλειστικά τοπολογικοί, προβολικοί ή Ευκλείδειοι είναι αμφισβητούμενοι. H Johnson (1973) υπέθεσε ότι κάποιες προθέσεις μπορεί να είναι τοπολογικές ή προβολικές/ευκλείδειες, κάτι που εξαρτάται από τις γνωστικές απαιτήσεις του έργου, και ότι η κατανόηση των τοπικών προσδιορισμών περιορίζεται από την έννοια του χώρου του παιδιού. Έτσι, μελετώντας παιδιά πάνω σε χωρικά έργα και έργα τοπικών προσδιορισμών του Piaget, που είχαν μια ποικιλία γνωστικών απαιτήσεων κατέληξε στο ότι τα παιδιά που κατανοούσαν τις τοπολογικές σχέσεις χρησιμοποίησαν έννοιες «πίσω από», «μπροστά από», και «ανάμεσα» μόνο στην εργασία που απαιτούσε τοπολογικές ιδέες. Τα παιδιά που λειτουργούσαν σε ένα προβολικό / ευκλείδειο επίπεδο και στα δύο έργα για το χώρο, χρησιμοποίησαν κατάλληλα τοπικούς προσδιορισμούς στα παραγόμενα έργα που είχαν τοπολογικές ή προβολικές / ευκλείδειες απαιτήσεις.

Οι αντιλήψεις των παιδιών προσχολικής ηλικίας για το χώρο σε χάρτες

Στην προσπάθειά μελέτης της οικοδόμησης των χωρικών εννοιών από παιδιά προσχολικής ηλικίας είναι πολύ σημαντικό να καταγραφούν οι έρευνες που έχουν γίνει στο παρελθόν πάνω σε έννοιες που αφορούν θέματα χώρου και χάρτη ειδικότερα. Έτσι, λοιπόν πολλοί ερευνητές με ενδιαφέρον στην εκπαίδευση των μαθηματικών και της γεωγραφίας αλλά και ερευνητές από τον τομέα της ψυχολογίας έχουν δώσει έμφαση στη σπουδαιότητα της κατανόησης του χάρτη, μια κατανόηση τόσο σημαντική, καθώς ο χάρτης χρησιμοποιείται συχνά ως μέσο επικοινωνίας αλλά και ως εργαλείο που συμβάλει στη χωρική και γεωγραφική κατανόηση (Walker R. J., 1980). Θεωρείται ότι είναι σημαντικό να ενθαρρύνουμε την κατανόηση των παιδιών για τους χάρτες όσο πιο σύντομα είναι ικανά να εκτιμήσουν την ιδέα ότι ο χάρτης μπορεί να αναπαραστήσει μέρος του κόσμου γύρω τους. Όταν τα παιδιά συνειδητοποιήσουν ότι ο χάρτης μπορεί να «συμβολίζει – αντιπροσωπεύει» κάτι άλλο, αυτό αποτελεί το πρώτο βήμα στην αναγνώριση της σπουδαιότητας των αναπαραστάσεων και το σημείο εκκίνησης για τη μάθηση της χρήσης του χάρτη ως πηγής πληροφορίας για τον κόσμο.

Το εύλογο ερώτημα που προκύπτει όμως είναι πότε τα παιδιά θεωρείται ότι είναι ικανά να εισαχθούν σε δεξιότητες που αφορούν χάρτη και να μπορούν να αναλάβουν ρόλο χαρτογράφου και χρήστη χάρτη. Εξετάζοντας λοιπόν πιο συγκεκριμένα, ορισμένες παλαιότερες έρευνες έχουν αμφισβητήσει την αξία της δυνατότητας εισαγωγής έργων με χάρτη σε οποιαδήποτε μικρή ηλικία. Δεσμευμένοι περιορισμένοι από την θεωρία του Piaget για την σχετική με την ηλικία ανάπτυξη της αντίληψης και του εγωκεντρισμού, η έρευνα για την κατανόηση του χάρτη έλαβε, σε μεγάλη έκταση, τη μορφή προσεκτικά ελεγχόμενων πειραμάτων, που είτε επιβεβαιώνουν, είτε αμφισβητούν τις ικανότητες των παιδιών να κατανοούν εναλλακτικές όψεις των αντικειμένων και των χώρων και να συνειδητοποιούν την αντιστοιχία συμβόλων επάνω στο χάρτη. Έτσι λοιπόν, σύμφωνα με τη λεγόμενη «παραδοσιακή οπτική» (Blades, Sowden and Spencer, 1995) για πολλά χρόνια είχε υποτεθεί ότι παιδιά μικρότερα από την ηλικία των 7 χρόνων έχουν μικρή ή καμιά ικανότητα με χάρτες. Αυτή η υπόθεση προήλθε από τη θεωρία της χωρικής ανάπτυξης των Piaget & Inhelder (1956), η οποία συχνά ερμηνεύτηκε με τρόπους απόρριψης για τις χωρικές ικανότητες των μικρών παιδιών – ειδικότερα σε σχέση με την εργασία με χάρτες.

Με σεβασμό στην αντίληψη του παιδιού για το χώρο, οι Piaget & Inhelder (1956) δημιούργησαν το πείραμα με τα τρία βουνά για να παρουσιάσουν την προοδευτική επίτευξη των παιδιών για τις τοπολογικές, προβολικές και Ευκλείδειες χωρικές έννοιες όσον αφορά την αναπτυσσόμενη ικανότητά τους να συλλαμβάνουν και να φαντάζονται χωρικές ρυθμίσεις, διατάξεις από διαφορετικές οπτικές γωνίες (Eliot & Dayton, 1976). Στο πείραμα τους παρουσίασαν στα παιδιά ένα τρισδιάστατο χαρτονένιο μοντέλο τριών βουνών και 10 εικόνες των βουνών αυτών. Ζητήθηκε από τα παιδιά να αναγνωρίσουν την προοπτική που είχε μια κούκλα που κατείχε διαφορετική οπτική θέση από αυτή των παιδιών. Χρησιμοποιώντας τεχνικές «αναγνώρισης» και «κατασκευής / αναπαραγωγής», οι Piaget & Inhelder περιέγραψαν τρία σχετικά με την ηλικία στάδια ανάπτυξης κατά την απόδοση αυτών των δραστηριοτήτων. Στο πρώτο στάδιο, μεταξύ 4 και 7 χρόνων τα παιδιά απάντησαν με ένα εγωκεντρικό τρόπο, όπου σταθερά απέδωσαν την προοπτική τους στην κούκλα. Στο δεύτερο στάδιο μεταξύ 7 και 8 ετών δεν επικράτησαν τα εγωκεντρικά λάθη και τα παιδιά αντέδρασαν σαν να γνώριζαν τις προοπτικές και των άλλων πέρα από τη δική τους. Στο τρίτο στάδιο μεταξύ 9 και 10 χρόνων τα παιδιά δεν έκαναν εγωκεντρικά λάθη και η απόδοσή τους ήταν σχεδόν πλήρως σωστή. (Fisbein, Lewis & Keiffer, 1972).

Επιβεβαίωση ικανοτήτων χαρτογράφησης χωρίς χρήση χάρτη

Στην ενότητα αυτή, το ερευνητικό έργο που παρουσιάζεται παρακάτω αφορά πλοήγηση σε μεγάλης κλίμακας πραγματικό περιβάλλον, όπου δεν χρησιμοποιείται χάρτης, αλλά μελετάται η χρήση σημείων αναφοράς, στρατηγικές σκέψης, χωρική αντίληψη και γνώση, έννοιες που εμπλέκονται στη χρήση ή και δημιουργία χάρτη. Η έρευνα επιβεβαιώνει ικανότητες χαρτογράφησης μικρών παιδιών. Έτσι λοιπόν, οι Cornell, Handley, Sterling, Chan & Boechler (2001) πραγματοποίησαν μια άλλου τύπου έρευνα, που αφορά την ανάπτυξη κάποιας στρατηγικής αναφορικά με επιλογή ορόσημων εξωτερικού περιβάλλοντος μεγάλης κλίμακας, για την εύρεση του δρόμου της ασφαλής επιστροφής στο σπίτι από παιδιά. Οι ερευνητές αυτοί θέλησαν να δουν την στρατηγική προσοχή των παιδιών ηλικίας 6 – 12 χρόνων για συγκεκριμένα υπαίθρια ορόσημα σε ένα πρόβλημα εύρεσης του δρόμου με φανερή προσαρμόσιμη σημασία. Σύμφωνα με τους Cornell et all (2001) πρέπει να υπάρχουν φυσικά ενδεχόμενα για επιλογή ορόσημων εξαιτίας του ότι τα παιδιά χρειάζεται να φτάσουν σε προορισμούς μέσα σε λογικό χρόνο, ελαχιστοποιώντας τις προσπάθειες του περιπάτου, και αποφεύγοντας κινδύνους του να χαθούν. Έτσι λοιπόν τα παιδιά αλλάζουν τις προσεκτικές στρατηγικές τους συγκριτικά με τις απαιτήσεις της εύρεσης του δρόμου με 4 τρόπους:

(1) εισάγουν νέες πιο προοδευμένες στρατηγικές,

(2) αυξάνουν τη χρήση πιο προοδευμένων στρατηγικών μεταξύ εκείνων που γνωρίζουν ήδη,

(3) αυξάνουν την αποτελεσματική εκτέλεση αυτών των στρατηγικών και

(4) κάνουν πιο προσαρμόσιμες επιλογές μεταξύ των στρατηγικών.

Στόχος της συγκεκριμένης έρευνας ήταν η απόδειξη του δεύτερου μηχανισμού αλλαγής, η αύξηση της χρήσης πιο προοδευμένων στρατηγικών. Όμως το να βρεις το δρόμο σε μια νέα περιοχή απαιτεί πιθανή επιλογή ορόσημων για το σκοπό της επιστροφής στο σπίτι και η σκέψη των μικρών παιδιών θα ήταν προσαρμόσιμη εάν σκέφτονταν τις οδηγίες των γονιών τους και τη δική τους ικανότητα πριν προσπαθήσουν νέες προοδευμένες στρατηγικές. Γι’ αυτό εξετάζεται ο τέταρτος μηχανισμός της αλλαγής που αφορά την επιλογή των συνετών στρατηγικών.

Σύμφωνα με τους Moore & Young (1978) τα παιδιά μεταξύ 5 και 12 χρόνων επεκτείνουν τον χωρικό βαθμό των δραστηριοτήτων τους αυθόρμητα και ανεξάρτητα και οι Cornell et all (2001) υποθέτουν ότι οι επεκτάσεις αυτές του χώρου παρέχουν το κίνητρο και το έδαφος για στρατηγικές εύρεσης του δρόμου. Στα πλαίσια της έρευνας αυτής εκτιμήθηκε εάν υπάρχουν διαφορές στην ηλικία στα πρότυπα «οπτικής σάρωσης» του περιβάλλοντος κατά τη διάρκεια υπαίθριας πλοήγησης / πεζοπορίας σε εξωτερικό χώρο σε κάποια ασφαλή απόσταση από το σπίτι. Συγκεκριμένα πρότυπα «οπτικής σάρωσης» μπορεί να δηλώνουν έλλειψη επιλεκτικής προσοχής στα ορόσημα. Επίσης στόχος των ερευνητών αποτέλεσε η σύνοψη της έκτασης του περιπάτου από τα παιδιά διαφορετικών ηλικιών. Ο ερευνητή ρώτησε, σε μια πρώτη φάση, κάθε παιδί αν ήθελε να πάει έως τη μεγαλύτερη απόσταση από το σπίτι του, μόνο του, και να επιλέξει να επιστρέψει πίσω ακολουθώντας την αντίστροφη διαδρομή, ενώ σε μια δεύτερη φάση, προέτρεψε κάθε παιδί, αν ήθελε να επιστρέψει στο σπίτι του από διαφορετική διαδρομή, καθοδηγώντας πάλι τον ερευνητή και χρησιμοποιώντας νέα μονοπάτια. Τα αποτελέσματα περιγράφουν φυσικές ευκαιρίες για τα παιδιά να προσπαθήσουν να βρουν στρατηγικές εύρεσης του δρόμου. Η διάρκεια των περιπάτων και των άσχετων διαδρομών προς τους προορισμούς τους αυξάνονται από την πρώιμη προς τη μέση παιδικότητα. Η γονική έμφαση στις ασφαλείς οδηγίες αφήνει ανοιχτή την πιθανότητα ότι τα παιδιά μαθαίνουν επιλεκτικά να παρακολουθούν ορόσημα κατά τη διάρκεια διαδρομών μόνα τους ή με ζευγάρια. Αν και κάποια είναι προσεκτικά να προσπαθήσουν νέες διαδρομές τα 6χρονα «πορεύονται» πέρα από τα όρια που αναμένουν οι γονείς τους. Οι επιλογές των μονοπατιών γι’ αυτές τις εκδρομές αφορούσαν τυπικά γραμμικές επεκτάσεις κατά μήκος καθιερωμένων διαδρομών. Αυτές οι επιλογές επέτρεψαν επιλεκτική προσοχή υψηλά οικείων ορόσημων και σε πολλές περιπτώσεις επαναλήψεις οικείων ακολουθιών δράσης ορόσημων. Οι στρατηγικές των 6χροων είναι σύμφωνες με τις αναπαραστάσεις της γειτονιάς τους βασισμένες στη διαδρομή (Siegel & White, 1975). Αντίθετα τα 12χρονα είναι πιο πιθανό να ακολουθήσουν απόμακρους προορισμούς και να πάρουν νέες διαδρομές. Τα πρότυπα της οπτικής σάρωσης δήλωσαν μεγάλο ποσοστό προσοχής σε ορόσημα κατά μήκος του ορίζοντα παρά από τα ίδια τα μονοπάτια. Τα πρότυπα φαίνονται να είναι πιο χαρακτηριστικά/ διακριτικά: περιφερειακά ορόσημα όπως σπίτια είναι τυπικά πιο διακριτά στους ενήλικες παρά οι ρωγμές στο πεζοδρόμιο. Επιπρόσθετα ορόσημα ιδωμένα προηγούμενα στον ορίζοντα μπορεί να είναι ορατά όταν ένα παιδί «σκανάρει» οριζοντίως. Τα 12χρονα είναι πιο πιθανό να προσπαθήσουν σύνθετες διαδρομές απ’ ότι τα 6χρονα επειδή παρακολουθούν διαφορετικά τα ορόσημα τα οποία αποτελούν άγκυρες για τοπογραφικές αναπαραστάσεις.