Στην παρούσα εργασία περιγράφεται μία σχετικά νέα, εναλλακτική διδακτική μεθοδολογία, που έχει ως κυρίαρχο σκοπό τον επανασχεδιασμό της διδακτικής διαδικασίας, μέσα από μία διαρκή αξιολόγηση καταγραφής των επεισοδίων που διαδραματίζονται στην τάξη. Είναι μία μεθοδολογία που αντλεί τις ρίζες της τόσο από τον κονστρουκτιβισμό, όσο και από την κοινωνικό-πολιτισμική θεωρία. Με γνώμονα την παραπάνω μεθοδολογία, σχεδιάσαμε μία διδακτική παρέμβαση μικρής διάρκειας, μόλις δύο ημερών, επιλέγοντας ως θεματολογία μας τα tangrams, ένα παιχνίδι προερχόμενο από την Ανατολή. Το συγκεκριμένο θέμα επιλέχθηκε με κριτήριο την πρωτοτυπία του και τις ευκαιρίες που προσφέρει στην εισαγωγή των παιδιών στη γεωμετρία με ένα τελείως αυθόρμητο και παιγνιώδη τρόπο. Γίνεται επίσης μία συνοπτική αναφορά στο Τrackstar, λογισμικό στο διαδίκτυο, που επιτρέπει στο χρήστη να οργανώνει τις ιστοσελίδες που τον ενδιαφέρουν σε θεματικές κατηγορίες και να τις συγκεντρώνει σε ένα παράθυρο με την μορφή υπερσυνδέσεων. Αποτέλεσε το βασικό τεχνολογικό μέσο ανάπτυξης των δραστηριοτήτων και δεξιοτήτων των παιδιών μέσα στο οποίο συγκεντρώσαμε παιχνίδια σύνθεσης με tangrams. Παρουσιάζεται ακόμηαναλυτικά η πορεία της διδακτικής διαδικασίας που σχεδιάσαμε και εφαρμόσαμε στο νηπιαγωγείο και προβαίνουμε στην αξιολόγηση της συγκεκριμένης διαδικασίας, επιλέγοντας και αξιολογώντας κάποια από τα σημαντικά επεισόδια που διαδραματίστηκαν στον χώρο της τάξης. Επικεντρώνονται στην ενασχόληση των παιδιών τόσο με το εποπτικό υλικό όσο και με τα παιχνίδια στο λογισμικό Τrackstar. Τέλος, παραθέτουμε ορισμένα συμπεράσματα που προκύπτουν από την εφαρμογή της συγκεκριμένης διδακτικής διαδικασίας, καθώς και ορισμένες προτάσεις που θα μπορούσαν να βοηθήσουν στη βελτίωση αυτής αλλά και στην περαιτέρω επέκταση και εμβάθυνση σε έναν ενδεχόμενο επανασχεδιασμό της.

ΜΕΘΟΛΟΓΙΚΗ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ: ΔΙΔΑΚΤΙΚΟ ΠΕΙΡΑΜA (TEACHING EXPERIMENT): Τα τελευταία χρόνια διαφαίνεται έντονα η αναζήτηση εναλλακτικών διδακτικών μεθόδων που να διαφοροποιούνται από τα πλαίσια των πειραματικών μελετών, οι οποίες βασίζονται στις θετικιστικές θεωρίες και εστιάζουν στο αποτέλεσμα της μάθησης, ελέγχοντας, μετρώντας και συσχετίζοντας μεταβλητές. Μία εναλλακτική, λοιπόν, διδακτική προσέγγιση μπορεί να υιοθετηθεί από μια ανθρωποκεντρική σκοπιά προσανατολισμένη στη διερεύνηση της ανάπτυξης και της διαπραγμάτευσης των νοημάτων, που κατασκευάζουν και παράγουν τα δρώντα πρόσωπα σε συγκεκριμένα εκπαιδευτικά πλαίσια, διερευνώντας και ερμηνεύοντας την ίδια την ανθρώπινη σκέψη, πράξη και δραστηριότητα (Χρονάκη, 2006). Οι μέθοδοι που εφαρμόζονται σε μία έρευνα που βασίζεται στο σχεδιασμό (design-based research) μπορούν να συνθέσουν μία μεθοδολογία, η οποία γεφυρώνει τη θεωρία με την εκπαιδευτική πρακτική. Έτσι, οι θεωρητικές αξιώσεις σχετικά με τη διδασκαλία και τη μάθηση μπορούν να μετασχηματιστούν σε πραγματικές καταστάσεις διδασκαλίας και μάθησης. Ο σχεδιασμός της διδακτικής παρέμβασης αντιμετωπίζεται ως το αντικείμενο της έρευνας και μπορεί να προάγει καινοτόμες αρχές και πρακτικές που μπορούν να εφαρμοστούν σε νέες καταστάσεις (Design-Based Research Collective, 2003). Μία λοιπόν δομημένη κατάσταση που θα έχει διδακτικό χαρακτήρα και δυνατότητα για πειραματισμό θα μπορούσε να είναι η λύση στην αναζήτηση μιας καινοτόμας και συνάμα κατάλληλης μεθόδου. Έτσι, το διδακτικό πείραμα (teaching experiment) αποτελεί ένα αναπτυξιακό πειραματικό πλαίσιο μέσα στο οποίο το υποκείμενο που συμμετέχει στην έρευνα έχει πρόσβαση σ’ ένα πλούσια δομημένο περιβάλλον το οποίο μπορεί να αναδιοργανωθεί σε μια κατάσταση, η οποία έχει συγκεκριμένο προσανατολισμό και στόχο (Χρονάκη, 2006). Το διδακτικό πείραμα είναι επηρεασμένο, τόσο από την κοινωνικό-πολιτισμική θεωρία όσο και από την θεωρία του κονστρουκτιβισμού. Η ψυχολογική κονστρουκτιβιστική οπτική, θεωρεί την ανάπτυξη ως μία διαδικασία αυτό-οργάνωσης, στην οποία ο μαθητής αναδιοργανώνει και ανακατασκευάζει τις δραστηριότητες του με σκοπό την επίτευξη των σκοπών και των στόχων του (McClain, 2002). Το υποκείμενο θεωρείται ως συμμετέχον ενεργά στη δόμηση των δικών του νοημάτων. Κάθε πληροφορία είτε ενσωματώνεται στις υπάρχουσες γνωστικές δομές είτε αποτελεί μέρος μιας νέας δομής. Ο μαθητής εποικοδομεί τη γνώση του και τις δεξιότητές του μέσω του περιβάλλοντος και της επανοργάνωσης των νοητικών τους δομών. Κάθε νέα πληροφορία από όπου κι αν προέρχεται, αφομοιώνεται από το υποκείμενο με τρόπο που εξαρτάται από τη φύση και την οργάνωση των γνωστικών δομών. Αυτό έχει δύο πολύ βασικές συνέπειες, πρώτον ότι η διαφορετική δομή θα αξιοποιήσει με διαφορετικό τρόπο κάθε νέα πληροφορία ή ιδέα, γεγονός που σημαίνει ότι ο κάθε μαθητής αποτελεί ξεχωριστή περίπτωση από πλευράς γνωστικής δομής. Κατά δεύτερον, κάθε νέα γνώση θα αφομοιωθεί μόνο όταν ενσωματωθεί στην προϋπάρχουσα γνωστική δομή του μαθητή, αλλιώς θα απομονωθεί και θα χαθεί (Τουμάσης, 2004). Αυτό σημαίνει ότι οι μαθητές ‘μαθαίνουν’ εφόσον είναι ενεργοί συμμετέχοντες σε διαδικασίες που έχουν στόχο την αναζήτηση και κατασκευή νοήματος μέσα από εμπειρίες οι οποίες παραμένουν ‘υποκειμενικές’ και ‘προσωπικές’. Συνεπώς, οι μαθητές καταλήγουν μέσα από τις σχολικές και διδακτικές εμπειρίες τους όχι μόνο σε διαφορετικές εμπειρίες, αλλά και σε διαφορετικές νοηματοδοτήσεις αυτών των εμπειριών. Έτσι, ανεξάρτητα από τον δάσκαλο, κάθε μαθητής φέρει και δημιουργεί υποκειμενικές εμπειρίες, οι οποίες έχουν μια ειδική και μοναδική νοηματοδότηση. Έτσι η κονστρουκτιβιστική αντίληψη για τη μάθηση αναπόφευκτα εστιάζει στη διαδικασία και όχι στο αποτέλεσμα. (Χρονάκη, 2006). Αντίθετα η κοινωνικό-πολιτισμική θεωρία, βασίζεται στην αλληλεπίδραση και θεωρεί την επικοινωνία και τη συνεργασία ως μια διαδικασία αμοιβαίας προσαρμογής, κατά την οποία το άτομο διαπραγματεύεται νέες έννοιες (McClain, 2002). Σε αυτό το πλαίσιο λοιπόν, ο Vygotsky, επιχειρεί τη μελέτη των ανώτερων ψυχολογικών λειτουργιών πιστεύοντας ότι η μάθηση είναι άρρηκτα συνδεδεμένη με την κοινωνική αλληλεπίδραση του παιδιού με γνωστικά ωριμότερους ‘άλλους’, αποδίδοντας έμφαση στη σημαντικότητα της εκπαίδευσης και της διαδικασίας διδασκαλίας-μάθησης. Η οικοδόμηση της γνώσης από το παιδί επηρεάζεται από τις παρελθούσες και τις παρούσες κοινωνικές αλληλεπιδράσεις του, ενώ παράλληλα η χρήση των ενδιάμεσων είναι η διαδικασία κατά την οποία κάποιοι μεσολαβητές βοηθούν το παιδί να περάσει από το στάδιο, όπου καταφέρνει κάτι με τη βοήθεια κάποιου σε αυτό όπου τα καταφέρνει μόνο του (ζώνη της επικείμενης ανάπτυξης). Εποικοδομεί τη γνώση του και τις δεξιότητές του μέσω του περιβάλλοντος και της επανοργάνωσης των νοητικών του δομών. Έτσι λοιπόν, δεν δρα ατομικά αλλά πάντα σε σχέση με μία κοινωνική, ιστορική και πολιτισμική σημασία (Ντολιοπούλου,1999). Βασικός σκοπός της ανάπτυξης της διδασκαλίας και της μάθησης, εκτός από τη μετάδοση γνώσεων είναι ο εξοπλισμός των παιδιών με ορισμένα «εργαλεία», τα οποία βοηθούν στο να κατανοήσουν τα παιδιά και να ελέγχουν τη συμπεριφορά και τα συναισθήματά τους, να γίνουν ανεξάρτητα, να φτάσουν σε ένα ανώτερο αναπτυξιακό επίπεδο και να συνεργάζονται με άλλους για ένα κοινό σκοπό. Ακόμα τα εργαλεία αυτά βοηθούν στη μετάβαση της νόησης από το κοινωνικό στο ατομικό επίπεδο. Κατά τη διαδικασία επίλυσης ενός προτιθέμενου προβλήματος, το παιδί ενεργοποιεί ανώτερες ψυχολογικές λειτουργίες μέσω της χρήσης του λόγου και συμβόλων τα οποία έχουν διαμορφωθεί σε προηγούμενες κοινωνικές εμπειρίες και συμβάλουν στην κατασκευή νοημάτων. Τα νόηματα αυτά μεταφέρονται από το υποκείμενο με στόχο τη δράση (Χρονάκη, 2006). Από τα παραπάνω γίνεται κατανοητό ότι η μάθηση χαρακτηρίζεται ως προσωπική αναδόμηση των κοινωνικών εννοιών και δομών μέσα από την επικοινωνία της αλληλεπίδρασης. Παράλληλα και οι δύο θεωρίες παρουσιάζουν τη μάθηση τόσο ως μία ενεργή διαδικασία προσωπικού ‘χτισίματος’ της γνώσης, όσο και ως μία ‘συναλλαγή’ με την ευρύτερη κοινωνία. Οι ατομικές και οι συνεργατικές διαδικασίες λοιπόν, σχετίζονται άμεσα με το γεγονός ότι η ύπαρξη της μιας δεν υφίσταται χωρίς την ύπαρξη της άλλης (McClain, 2002). Το διδακτικό πείραμα είναι μία παραλλαγή της διαγνωστικής συνέντευξης. Η ομοιότητά τους έγκειται στη διερεύνηση των νοητικών μοντέλων των παιδιών κατά την ενασχόλησή τους μ’ ένα έργο. Η διαδικασία αυτή τόσο στο διδακτικό πείραμα, όσο και στη διαγνωστική συνέντευξη καταγράφεται και αναλύεται. Κατά τη διάρκεια της ανάλυσης ο ερευνητής, με βάση τις καταγεγραμμένες απαντήσεις που έχουν δώσει τα ίδια τα παιδιά, αναπτύσσει υποθέσεις σχετικά με το πώς τα παιδιά κατασκευάζουν τα νοήματά τους γύρω από θέματα (Steffe & Thompson, 2000 N. Sanjand N. Sanjay λείων.; Χρονάκη, 2006). Σύμφωνα με τους Engelhardt, Corpuz, Ozimek, και N. Sanjand N. Sanjay λείων. Rebello N. Sanjand N. Sanjay λείων. (2003), ο ερευνητής στο διδακτικό πείραμα λαμβάνει δύο ρόλους: του εκπαιδευτικού και του συνεντευκτή. Ως συνεντευκτής, ο ερευνητής αποσπά τις ιδέες των μαθητών για το υπό εξέταση θέμα. Ως εκπαιδευτικός, δημιουργεί εκείνες τις καταστάσεις και τους τρόπους αλληλεπίδρασης με τους μαθητές, ενθαρρύνοντάς τους να τροποποιήσουν την τρέχουσα σκέψη τους. Αυτή η πτυχή του διδακτικού πειράματος (τροποποίηση σκέψης) το διαφοροποιεί σε σχέση με τη διαγνωστική συνέντευξη. Ο εκπαιδευτικός μπορεί ν’ ανακαλύψει ποια εκπαιδευτική τεχνική επιφέρει αλλαγή στη σκέψη και μπορεί να εφαρμόσει την τεχνική για να πραγματοποιήσει την αλλαγή αυτή. Σύμφωνα με τη Χρονάκη (2006) η διαφοροποίηση έγκειται κυρίως στη σχέση και αλληλόδραση μεταξύ ερευνητή-ερευνόμενου (π.χ. ο ρόλος της μεταξύ τους επικοινωνίας, η χρήση της γλώσσας κλπ.) και στον τρόπο που οι δράσεις και οι σχέσεις πλαισιοθετούνται (π.χ. ως συνέντευξη ή ως διδασκαλία). Συγκεκριμένα, η διαγνωστική συνέντευξη εστιάζει στην καταγραφή των απαντήσεων των παιδιών (λεκτικές ή φυσικές-σωματικές) με στόχο την ερμηνεία του είδους των νοητικών τους μοντέλων και δεν προτρέπει σε παρεμβατικές ή διερευνητικές ερωτήσεις που χρησιμοποιούνται κατά τα διδακτικά πειράματα. Επίσης, κατά τη διαγνωστική συνέντευξη πρέπει να τηρείται απόσταση μεταξύ ερευνητή και ερευνόμενου, εξαιτίας της αυστηρότητας των ερωταποκρίσεων για τη διασφάλιση αξιόπιστων δεδομένων και συμπερασμάτων. Στο διδακτικό πείραμα αυτή η απόσταση μοιάζει να υπερνικάται, καθώς δίδεται άμεσα η δυνατότητα στους παρευρισκομένους (ερευνητή-εκπαιδευτικό, μαθητές) να διερευνούν και να επεκτείνουν τα ερωτήματα και να εμπλέκονται σε καταστάσεις επικοινωνίας. Η μεθοδολογία του διδακτικού πειράματος χρησιμοποιείται κυρίως στα μαθηματικά, αλλά και στις φυσικές επιστήμες (Engelhardt, Corpuz, Ozimek & N. Sanjand N. Sanjay λείων. Rebello, 2003). Ο κυρίαρχος σκοπός της μεθοδολογίας ενός διδακτικού πειράματος στα μαθηματικά κατά τη διεξαγωγή του στην τάξη, είναι η εξέταση και επανεξέταση μίας διδακτικής ακολουθίας, η οποία έχει σχεδιαστεί για να στηρίξει τη μαθηματική ανάπτυξη των μαθητών σε ένα συγκεκριμένο γνωστικό περιεχόμενο. Παράλληλα, οι ερευνητές εστιάζουν στα απαραίτητα μέσα που στηρίζουν την επιτυχία αυτής της ανάπτυξης, όπως οι κανόνες επιχειρηματολογίας, ο ρόλος του εκπαιδευτικού στο να διευκολύνει σκόπιμα τις συζητήσεις των παιδιών και η χρήση των εργαλείων (McClain, 2002). Τα διδακτικά πειράματα ποικίλουν σε διάρκεια, από λίγες εβδομάδες έως και έναν ολόκληρο σχολικό χρόνο. Συνεπώς, του δασκες για την ραίτητα necessary τροποποιούνται διαρκώς τα υποθετικά συμπεράσματα σχετικά με το πώς μπορεί να στηριχθεί καλύτερα η μαθηματική ανάπτυξη των μαθητών στο συγκεκριμένο περιεχόμενο, μέσα από καθημερινές αναλύσεις της τρέχουσας μαθηματικής δραστηριότητας. Αυτές οι αναλύσεις, δίνουν πληροφορίες αναφορικά με τις μαθηματικές δραστηριότητες της διδακτικής διαδικασίας, με σκοπό τη λήψη αποφάσεων μικρής κλίμακας για την καταλληλότητά τους. Η λεπτομερής, ανασκοπική ανάλυση των πληροφοριακών στοιχείων παρέχει τη βάση για μεγάλης κλίμακας τροποποιήσεις και αναθεωρήσεις (McClain, 2002). Συγκεκριμένα η φάση της συλλογής και ανάλυσης των δεδομένων περιλαμβάνει:

ΣΥΛΛΟΓΗ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ: Η συλλογή των δεδομένων γίνεται κυρίως μέσα από την καταγραφή των επεισοδίων που διαδραματίζονται στην τάξη. Κατά τη διάρκεια των συζητήσεων με το σύνολο των παιδιών της τάξης, μία κάμερα εστιάζει στον εκπαιδευτικό και στα παιδιά που μοιράζονται τις απαντήσεις και τις ιδέες τους. Μία δεύτερη κάμερα εστιάζει στην αίθουσα για να αποτυπώσει τη συμβολή και άλλων μελών της τάξης. Κατά τη διάρκεια της ατομικής εργασίας ή της εργασίας σε μικρές ομάδες, οι δύο κάμερες εστιάζουν στα παιδιά που επιλύουν κάποιο στόχο-έργο. Όλα τα μέλη της έρευνας κρατούν σημειώσεις κατά τη διάρκεια της διαδικασίας στην τάξη. Επιπρόσθετα, ο εκπαιδευτικός τυπικά κρατά ένα ημερολόγιο το οποίο και ενημερώνει καθημερινά. Αυτού του τύπου οι καταγραφές χρησιμοποιούνται ως δεδομένα για να παρθούν αποφάσεις σχετικά με το σχεδιασμό των επόμενων κατάλληλων βημάτων της διδακτικής ακολουθίας και τη μετέπειτα ανάλυση των γεγονότων στην τάξη. Η διδακτική διαδικασία τυπικά ξεκινάει με τον εκπαιδευτικό να δίνει ένα στόχο προς επίλυση στο σύνολο των παιδιών της τάξης. Ο στόχος μπορεί να παρουσιάζεται από τον εκπαιδευτικό διαμέσου π.χ. της αφήγησης μιας ιστορίας. Τα παιδιά μετά μπορεί να εμπλακούν σε συζήτηση με τον εκπαιδευτικό σχετικά με τα στοιχεία εκείνα που κρίνουν σημαντικά για τη δραστηριότητα επίλυσης του προβλήματος-στόχου. Μετέπειτα, τα παιδιά εργάζονται μόνα τους ή σε μικρές ομάδες για να επιλύσουν το στόχο. Οι ερευνητές περιφέρονται γύρω στην τάξη, για να παρατηρήσουν τις δραστηριότητες των παιδιών (McClain, 2002). Είναι σημαντικό να σημειωθεί οι ερευνητές δεν παρεμβαίνουν, δίνοντας τις σωστές απαντήσεις. Ο στόχος είναι να μη διορθώνουν τον τρόπο συλλογισμού των παιδιών, αλλά να συλλέξουν πληροφορίες σχετικά με τους ποικίλους τρόπους με τους οποίους τα παιδιά επιλύουν το στόχο. Ταυτόχρονα, επιτρέποντας στα παιδιά να εκφράσουν λάθος απαντήσεις οδηγούνται σε πιο εποικοδομητικές συζητήσεις και συνεκτιμούν το ρόλο που τα λάθη παίζουν σαν βασικά βήματα στην αναδιοργάνωση των υπαρχόντων μαθηματικών ιδεών σε πιο σύνθετα επίπεδα συνειδητοποίησης (Steffe & Thompson, 2000). Οι εκπαιδευτικοί, επίσης, καθημερινά παίρνουν αποφάσεις σχετικά με την καταλληλότητα του εκπαιδευτικού υλικού. Επιλέγουν να τροποποιούν και να εισάγουν υλικά και στόχους που βασίζονται στη διαρκή αξιολόγηση από τα ίδια τα παιδιά.(McClain, 2002).

ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ: Όσον αφορά στη διαδικασία ανάλυσης των δεδομένων, περιλαμβάνει την επεξεργασία των καταγεγραμμένων στοιχείων, επεισόδιο ανά επεισόδιο, με βάση τη χρονολογική τους σειρά. Το καθοριστικό χαρακτηριστικό ενός επεισοδίου είναι ότι το επίκεντρο της δραστηριότητας και της συζήτησης αποτελεί ένα μεμονωμένο μαθηματικό θέμα. Όταν εργαζόμαστε μέσω των στοιχείων κατ’ αυτόν τον τρόπο, αναπτύσσουμε υποθέσεις και εικασίες σχετικά με τους τρόπους συλλογισμού και επικοινωνίας των μαθητών σε συγκεκριμένες φάσεις της διαδικασίας. Το αποτέλεσμα αυτής της πρώτης φάσης της ανάλυσης περιλαμβάνει μια αλυσίδα από υποθέσεις, διαψεύσεις και αναθεωρήσεις που στηρίζονται στις λεπτομέρειες των συγκεκριμένων επεισοδίων (Cobb, Stephan, McClain & Gravemeijer, 2001).

Γεωμετρία και παιδιά προσχολικής ηλικίας: Τα παιδιά από τα πρώτα ακόμη χρόνια της ζωής τους εισάγονται αυθόρμητα και καθημερινά στις μαθηματικές έννοιες μέσα από το παιχνίδι τους. Όλοι έχουμε γίνει μάρτυρες παιδιών προσχολικής ηλικίας που διερευνούν σχήματα, ζωγραφίζουν και δημιουργούν γεωμετρικά σχέδια, χαίρονται να αναγνωρίζουν και να ονομάζουν κάθε σχήμα που βλέπουν μπροστά τους. Αυτό είναι γεωμετρία! (Clements, Swaminathan, Hannibal, & Sarama, 1999). Γεωμετρία όμως είναι και «η κατάληψη χώρου...ο χώρος στον οποίο το παιδί ζει, αναπνέει, κινείται. Ο χώρος στον οποίο το παιδί πρέπει να μάθει να γνωρίζει, να εξερευνά, να κατακτά, για να ζει, να αναπνέει και να κινείται καλύτερα σε αυτόν» (Gould, 2003). Μέσα σε ένα κόσμο, ο οποίος είναι περιτριγυρισμένος από ποικίλα σχήματα, συνυφασμένος με χωρικές σχέσεις και θεμελιωμένος πάνω σε γεωμετρικές έννοιες, τα παιδιά της προσχολικής ηλικίας είναι εφοδιασμένα με μαθηματικές δεξιότητες, τις οποίες χαίρονται να χρησιμοποιούν ανά πάσα στιγμή. Πριν ακόμη ενταχθούν στην σχολική κοινότητα αναπτύσσουν αριθμητικές και γεωμετρικές δεξιότητες, οι οποίες ποικίλλουν και ξεκινούν από την απλή απαρίθμηση των αντικειμένων έως τον προσανατολισμό ή τον σχηματισμό γεωμετρικών σχημάτων.
Επίπεδα Γεωμετρικής Σκέψης κατά Van Hiele: Αδιαμφισβήτητα, σύμφωνα με τον Van De Walle (2007), δε σκέπτονται όλοι οι άνθρωποι με τον ίδιο τρόπο. Ασφαλώς και δεν είμαστε όλοι ίδιοι, αλλά μπορούμε να σκεπτόμαστε και να συλλογιζόμαστε σε γεωμετρικά συγκείμενα. Η έρευνα των δύο Ολλανδών παιδαγωγών, του Pierre van Hiele και της Dina van Hiele-Geldof, διαφώτισε γύρω από τις διαφορές στη γεωμετρική σκέψη και πώς αυτές έχουν προκύψει. Συγκεκριμένα, προτείνουν ένα μοντέλο ιεράρχησης της γεωμετρικής σχέσης σε πέντε επίπεδα διαδικασίας της συλλογιστικής σκέψης που χρησιμοποιούνται στα γεωμετρικά συγκείμενα. Τα επίπεδα περιγράφουν τον τρόπο και τους τύπους γεωμετρικών ιδεών με τους οποίους σκεπτόμαστε, παρά την ποσότητα των γνώσεων που έχουμε πάνω στη γεωμετρία. Τα επίπεδα αναφέρονται στα εξής:
Επίπεδο 0: Νοερή απεικόνιση. Τα παιδιά αναγνωρίζουν και κατονομάζουν τα σχήματα βασιζόμενα στα καθολικά, οπτικά χαρακτηριστικά τους. Είναι ικανά να κάνουν μετρήσεις, ακόμα και να συζητούν για τις ιδιότητές των σχημάτων, όμως η εμφάνισή και η μορφή τους είναι αυτή που καθορίζει τα σχήματα για το παιδί και όχι οι ιδιότητές τους. Επιπλέον, μπορούν να ταξινομήσουν και να κατατάξουν τα σχήματα όπως και να δουν πώς τα σχήματα είναι ίδια και πώς διαφορετικά, βασιζόμενα πάντα στη μορφή τους.

Επίπεδο 1: Ανάλυση. Τα παιδιά είναι ικανά να εξετάσουν όλα τα σχήματα μέσα σε μία ομάδα παρά το κάθε σχήμα μόνο του. Εστιάζοντας προς μία κατηγορία σχημάτων (π.χ. ορθογώνια) μπορούν να συλλογιστούν τι είναι αυτό που κάνει ένα ορθογώνιο να είναι ένα ορθογώνιο. Συνεπώς, αρχίζουν να εκτιμούν ότι διαφορετικά σχήματα ανήκουν στην ίδια κατηγορία λόγω των ιδιοτήτων τους. Τα χαρακτηριστικά που δεν έχουν σχέση (π.χ. το μέγεθος ή ο προσανατολισμός) αποκτούν δευτερεύουσα σημασία. Ωστόσο, ενώ μπορούν να καταγράψουν τις ιδιότητες των τετραγώνων, των ορθογωνίων και των παραλληλόγραμμων, δεν μπορούν να αντιληφθούν ότι αυτές είναι υποκατηγορίες η μία της άλλης (δηλ. όλα τα τετράγωνα είναι ορθογώνια και όλα τα ορθογώνια παραλληλόγραμμα).

Επίπεδο 2: Άτυπα Συμπεράσματα. Τα παιδιά έχουν αναπτύξει την κατανόηση των διαφόρων ιδιοτήτων των σχημάτων και είναι σε θέση να αναπτύξουν σχέσεις μεταξύ δύο ιδιοτήτων καθώς και ανάμεσα σε όλες αυτές τις ιδιότητες. Θα μπορέσουν ν’ ακολουθήσουν έναν άτυπο, συμπερασματικό επιχείρημα για τα σχήματα και τις ιδιότητές τους, ωστόσο οι αποδείξεις είναι περισσότερο ενστικτώδεις παρά αυστηρά συμπερασματικές.

Επίπεδο 3: Συμπεράσματα. Τα παιδιά μπορούν να εξετάσουν και άλλα πράγματα πέρα από τις ιδιότητες των σχημάτων. Η δομή ενός συστήματος εξ’ ολοκλήρου με αξιώματα, ορισμούς, θεωρήματα, πορίσματα και δεδομένα αρχίζει να αναπτύσσεται. Σ’ αυτό το επίπεδο μπορούν να δουλέψουν με αφηρημένες έννοιες για τις γεωμετρικές ιδιότητες, να συναγάγουν συμπεράσματα βασισμένα περισσότερο στη λογική παρά στη διαίσθηση. Ο τύπος της αιτιολόγησης που χαρακτηρίζει ένα παιδί στο επίπεδο 3 είναι ο ίδιος που απαιτείται και σε μια τυπική τάξη γεωμετρίας στο Λύκειο.

Επίπεδο 4: Αυστηρότητα. Στο τελευταίο και υψηλότερο στάδιο της θεωρίας του Van Hiele, τα αντικείμενα της προσοχής είναι τα ίδια τα αξιωματικά συστήματα (π.χ. Ευκλείδεια γεωμετρία, σφαιρική γεωμετρία) και όχι απλά τα συμπεράσματα μέσα σ’ ένα σύστημα. Οι συγκρίσεις και οι αντιπαραθέσεις αφορούν ανάμεσα στα διαφορετικά αυτά αξιωματικά συστήματα της γεωμετρίας. Στο επίπεδο αυτό φτάνουν συνήθως οι σπουδαστές κατά τη φοίτηση τους στο Πανεπιστήμιο, οι οποίοι μελετούν τη γεωμετρία ως κλάδο της μαθηματικής επιστήμης.

Χρησιμότητα της θεωρίας Van Hiele στην εκπαιδευτική πρακτική: Η θεωρία των επιπέδων της γεωμετρικής συλλογιστικής σκέψης του Van Hiele μπορεί να ληφθεί υπόψη κατά την ανάπτυξη γεωμετρικών δραστηριοτήτων στο σχολείο, από τις μικρές ακόμα ηλικίες του νηπιαγωγείου. Κύριος στόχος μπορεί ν’ αποτελέσει η βελτίωση του επιπέδου της γεωμετρικής σκέψης των παιδιών, έτσι ώστε να μεταβούν στο επόμενο επίπεδο από αυτό που ήδη βρίσκονται. Οι δραστηριότητες που επιτρέπουν την εξερεύνηση, τη συζήτηση και την αλληλεπίδραση με το περιεχόμενο του επόμενου επιπέδου καθώς αυξάνουν οι εμπειρίες στο τρέχον επίπεδό τους, έχουν τις μεγαλύτερες πιθανότητες να βελτιώσουν το επίπεδο σκέψης αυτών των παιδιών. Οι δραστηριότητες θα πρέπει να λαμβάνουν υπόψη το επίπεδο γεωμετρικής σκέψης των παιδιών, καθώς η ηλικία σχετίζεται με το σύνολο και τους τύπους των γεωμετρικών εμπειριών που έχουμε. Ταυτόχρονα, πρέπει να τονιστεί ότι δε φτάνουν όλα τα παιδιά της ίδια ηλικίας με τον ίδιο ρυθμό σ’ ένα επόμενο επίπεδο. Οι δραστηριότητες που λαμβάνουν χώρα στην τάξη θα πρέπει να σέβονται και να προσαρμόζονται στο επίπεδο γεωμετρικής σκέψης του κάθε παιδιού. Επίσης, κάθε δραστηριότητα μπορεί να σχεδιαστεί για να γεφυρώσει δύο επίπεδα σκέψης, ακόμα και μέσα στην ίδια τάξη.
Τέλος, δεν είναι όλοι οι εκπαιδευτικοί ικανοί να οδηγήσουν τα παιδιά στο επόμενο επίπεδο, ούτε όλα τα παιδιά μπορούν να φτάσουν σ’ ένα επόμενο επίπεδο γεωμετρικής συλλογιστικής σκέψης. Κάθε εκπαιδευτικός, όμως, θα πρέπει να δει και να έχει την ικανότητα ν’ αναγνωρίσει κάποια ανάπτυξη στη γεωμετρική συλλογιστική σκέψη των παιδιών της τάξης του κατά τη διάρκεια της σχολικής χρονιάς. Και κάθε εκπαιδευτικός θα πρέπει να γνωρίζει ότι οι εμπειρίες που παρέχει είναι ο σημαντικότερος παράγοντας για την ανέλιξη των παιδιών σ’ αυτή τη γεωμετρική σκάλα (Van De Walle, 2007).