Νοηματοδότηση της έννοιας του κλάσματος: Τα κλάσματα αναφέρονται τόσο σε συνεχείς (μοιράζω μία τούρτα) όσο και σε ασυνεχείς ποσότητες (μοιράζω 20 καραμέλες). Οι έννοιες που σχετίζονται με τα κλάσματα είναι πολύπλοκες. Υπάρχουν δύο βασικές κύριες έννοιες οι οποίες μπορούν να βοηθήσουν στην κατανόηση όλων των παραμέτρων. Αυτές είναι οι έννοιες του διαχωρισμού και της ισοδυναμίας. Ο διαχωρισμός αφορά τη διαδικασία της ίσης μοιρασιάς και η ισοδυναμία αφορά τους διαφορετικούς τρόπους με τους οποίους μπορεί να παρασταθεί η ίδια ποσότητα (π.χ. 1/2 = 2/4 = 3/6 κλπ. ) (Reys et al, 1989). Τα δεκαδικά κλάσματα αναπαριστούν διαχωρισμούς σε δεκάδες, εκατοντάδες κλπ. ενώ τα κοινά κλάσματα μπορεί να αναπαριστούν οποιονδήποτε διαχωρισμό. Τα κοινά κλάσματα είναι πιο γενικά από τα δεκαδικά και μπορεί να αρχίσει κανείς τη διδασκαλία με αυτά αλλά αυτό δεν υπονοεί ότι η συνολική μελέτη των κοινών κλασμάτων θα πρέπει να ολοκληρωθεί πριν ασχοληθεί κανείς με τα δεκαδικά κλάσματα. Αν έχει προηγηθεί μια βασική θεμελίωση της έννοιας των κλασμάτων τότε μπορεί να πραγματοποιηθεί η εισαγωγή των δεκαδικών κλασμάτων. Πολλές από τις λειτουργίες των δεκαδικών κλασμάτων είναι ευκολότερες από τις αντίστοιχες λειτουργίες με τα κοινά κλάσματα και μπορούν κατά συνέπεια να διδαχθούν με τρόπο που να έχει νόημα πριν ολοκληρωθεί η διδασκαλία των λειτουργιών με τα κοινά κλάσματα (Reys et al, 1989). Τρεις διακριτές έννοιες των κλασμάτων συνήθως εμφανίζονται στα προγράμματα των δημοτικών σχολείων. Η σχέση μέρους-όλου, το πηλίκο και η αναλογία. Το βάρος δίνεται κυρίως στη σχέση μέρους-όλου και οι δύο άλλες έννοιες αναπτύσσονται ελάχιστα.
Σχέση μέρους-όλου (συνεχείς και ασυνεχείς ποσότητες): Σχέση μέρους-όλου (περιοχή) Ένα κλάσμα όπως τα 3/5 σηματοδοτεί τα τρία μέρη μιας εννιαίας περιοχής χωρισμένης σε πέντε ίσα μέρη όπως φαίνεται για παράδειγμα στο παρακάτω σχήμα. Τετράγωνα, κύκλοι και ορθογώνια είναι σχήματα που μπορούν εύκολα να διαχωριστούν σε ίσα τμήματ

Σχέση μέρους-όλου (μήκος) Μια μονάδα μήκους μπορεί να χωριστεί σε κλασματικές μονάδες. Τα παιδιά μπορούν να διπλώσουν μακριές και στενές λωρίδες χαρτιού στη μέση, σε τρίτα, τέταρτα κλπ. Τέτοιου τύπου δραστηριότητες παρέχουν σημαντική βοήθεια για την τοποθέτηση των κλασμάτων στην αριθμογραμμή, δραστηριότητα κατά την οποία τα παιδιά συναντούν σημαντική δυσκολία.
Σχέση μέρους-όλου (ασυνεχείς ποσότητες). Αυτό το μοντέλο χρησιμοποιεί το σύνολο μιας ποσότητας ως την αρχική μονάδα. Αυτό το μοντέλο παρουσιάζει δυσκολίες για τα παιδιά καθώς αυτά πολλές φορές δεν έχουν σκεφτεί π.χ. τα 20 αντικείμενα ως μία μονάδα. Επίσης αν τα παιδιά δεν έχουν εργαστεί με αντικείμενα και εισαχθούν απευθείας στο συμβολισμό, οι δυσκολίες είναι μεγαλύτερες. Η μονάδα εδώ αποτελείται από 9 αντικείμενα και τη χωρίζουμε σε τρίτα.

Σχέση μέρους όλου (επιφάνεια) Το μοντέλο αυτό αναπαράστασης είναι εξειδικευμένο, περιλαμβάνει την έννοια της περιοχής και πρέπει να έρθει σε επόμενο στάδιο. Ο εκπαιδευτικός απομακρύνει τον περιορισμό ότι τα τμήματα πρέπει να έχουν οπωσδήποτε το ίδιο σχήμα. Αυτό που χρειάζεται μόνο να έχουν τα σχήματα είναι να έχουν την ίδια επιφάνεια.

Πηλίκο: Ένα κλάσμα όπως τα 3/5 μπορεί να θεωρηθεί και ως πηλίκο της αντίστοιχης διαίρεσης. Ένα πρόβλημα που θα αντιστοιχούσε σε αυτή τη διαίρεση θα ήταν το εξής: «Αν τρεις σοκολάτες μοιραστούν σε 5 παιδιά, πόση σοκολάτα θα έπαιρνε το κάθε παιδί». Ένα τέτοιο πρόβλημα μπορεί να παρασταθεί ως εξής:

Κάθε παιδί θα έπαιρνε το 1/5 από κάθε σοκολάτα κατά συνέπεια 3 δια 5 = 3/5
Αναλογία: Το κλάσμα 3/5 μπορεί να νοηθεί και ως αναλογία. Ένα μοντέλο θα ήταν τρία λυπημένα παιδιά για κάθε πέντε χαρούμενα παιδιά. Αυτή είναι μια εντελώς διαφορετική ερμηνεία της έννοιας του κλάσματος και δεν θα μας απασχολήσει εδώ. (Reys et al, 1989)

Ανάπτυξη της έννοιας του κλάσματος στα παιδιά: O Piaget με τους συνεργάτες του ξεκίνησε την έρευνα για την κατανόηση των κλασμάτων από τα παιδιά, ζητώντας από αυτά να χωρίσουν ολόκληρες ποσότητες σε ίσα μέρη –δύο, τρία, τέσσερα, πέντε και έξι- και στη συνέχεια να αποφανθούν για την ισοδυναμία α) του όλου και του αθροίσματος των μερών και β) δύο ίδιων ποσοτήτων οι οποίες έχουν μοιραστεί σε διαφορετικά μέρη. Η υπόθεσή τους ήταν ότι για να καταφέρουν τα παιδιά το διαχωρισμό του όλου σε ίσα τμήματα, θα πρέπει να έχουν κατανοήσει ποια είναι η σχέση του όλου με τα μέρη και ότι αυτή η κατανόηση έχει άμεση σχέση με τη διατήρηση του όλου ανεξάρτητα από τον αριθμό των διαχωρισμών τους οποίους έχει αυτό υποστεί. Οι δραστηριότητες αφορούσαν το μοίρασμα ενός κέικ σοκολάτας σε κούκλες. Αυτά που παρατηρήθηκαν ήταν τα εξής: τα παιδιά των τεσσάρων και πέντε ετών απέτυχαν στις προσπάθειές τους να χωρίσουν τη συνολική ποσότητα σε ένα προκαθορισμένο αριθμό ισοδύναμων μερών. Κατά την ηλικία όμως των έξι και επτά ετών, που επιτυγχάνεται η διατήρηση του όλου, τα παιδιά ήταν ικανά να αντιληφθούν τη σχέση ανάμεσα στο όλο και στα μέρη και μπορούσαν να χωρίσουν το σύνολο σε έναν προκαθορισμένο αριθμό, κατά προσέγγιση ίσων, μερών. Αυτά τα αποτελέσματα οδήγησαν τον Piaget και τους συνεργάτες του να συμπεράνουν ότι η κατανόηση των κλασμάτων συνδέεται άμεσα με την κατανόηση της διατήρησης του όλου. (Nunes & Bryant, 1996).
Ο Lima σε μία έρευνα με παιδιά 7 – 12 ετών από τη Βραζιλία επέκτεινε την έρευνα του Piaget βάζοντας τα παιδιά να εργαστούν τόσο με συνεχείς όσο και με ασυνεχείς ποσότητες. Τα ευρήματα της έρευνας επιβεβαίωσαν τα ευρήματα του Piaget και των συνεργατών του δείχνοντας ότι η ισοδυναμία ανάμεσα σε ισοδύναμα κλάσματα που εμφανίζονταν όμως οπτικά με διαφορετικούς τρόπους, κατανοούνταν από τα παιδιά μόνο σε σχέση με την ανάλυση των σχέσεων όλου σε συνάρτηση με τα μέρη. Ο διαχωρισμός δε των ασυνεχών ποσοτήτων γινόταν κατανοητός πριν από το διαχωρισμό συνεχών ποσοτήτων. (Nunes & Bryant, 1996).
Οι παραπάνω έρευνες περιγράφουν μια οπτιμιστική εικόνα της κατανόησης της έννοιας του κλάσματος από τα παιδιά. Άλλες έρευνες όπως του Hart και της Kerslake δίνουν μια εντελώς διαφορετική εικόνα. Η Kerslake για παράδειγμα αναφέρει ότι ακόμα και παιδιά 12 – 14 ετών είχαν δυσκολίες να σειροθετήσουν κλάσματα και να τα τοποθετήσουν πάνω στην αριθμογραμμή. Σε σχέση με την τελευταία δραστηριότητα, μόνο ένα από τα 15 παιδιά που έλαβαν μέρος στην έρευνα μπόρεσε να τοποθετήσει σωστά το κλάσμα 2/3 και μόνο τρία από τα 15 παιδιά μπόρεσαν να τοποθετήσουν σωστά το κλάσμα ½. (Nunes & Bryant, 1996). Και άλλοι ερευνητές υποστηρίζουν ότι οι έννοιες που σχετίζονται με τα κλάσματα δεν αναπτύσσονται επαρκώς μέχρι την ηλικία των 9 ετών. (Reys et all, 1989)
Η ερμηνεία που έδωσαν οι Nunes & Bryant για να εξηγήσουν τις τόσο διαφορετικές επιδόσεις των μαθητών στις διαφορετικές έρευνες, αναφέρεται στην αποσύνδεση που υπάρχει ανάμεσα στην επίσημη μαθηματική γνώση που διδάσκεται στα σχολεία και την κατανόηση των καθημερινών καταστάσεων από τα παιδιά. Οι συγγραφείς υποστηρίζουν ότι όταν τα παιδιά εμπλέκονται σε πειραματικές καταστάσεις σκέφτονται πάνω σε αυτές με λογικούς τρόπους. Αντίθετα όταν λύνουν μαθηματικά προβλήματα στο σχολείο, ερμηνεύουν την κατάσταση, ως μία κατάσταση όπου θα πρέπει να σκεφτούν ποιες διαδικασίες να ακολουθήσουν με τους αριθμούς και πώς να χρησιμοποιήσουν αυτά που έχουν μάθει στο σχολείο. Η επικέντρωση στο χειρισμό των μαθηματικών συμβόλων οδηγεί τα παιδιά στο να αποδώσουν τελικά σε χαμηλότερο επίπεδο από ότι θα απέδιδαν αν συγκεντρώνονταν στην κατάσταση την οποία αντιπροσωπεύει το πρόβλημα. (Nunes & Bryant, 1996).
Πώς δημιουργείται όμως αυτό το κενό ανάμεσα στην κατανόηση των αριθμών που εκφράζουν αναλογίες και στην επίδοση των παιδιών σε δραστηριότητες που απαιτούν συμβολισμούς; Η απάντηση ίσως βρίσκεται στο γεγονός ότι οι τελευταίες απαιτούν ένα διαφορετικό είδος γνώσης που είναι πιο αφηρημένο. Ο Streefland αναφέρει ότι ο τύπος των προβλημάτων που χρησιμοποιούνται στη διδασκαλία μπορεί να παίζει καθοριστικό ρόλο στη μάθηση. Τα προβλήματα θα πρέπει να περιλαμβάνουν δύο μεταβλητές οι οποίες να μπορούν και οι δύο να αναπαρασταθούν. Αντί να χωρίζει κανείς μία πίτσα σε κάποια τμήματα και να διδάσκει στους μαθητές τα κλάσματα, θα πρέπει να τους θέτει προβλήματα όπου και οι δύο μεταβλητές να μπορούν να παρασταθούν. Ένα παράδειγμα τέτοιου τύπου προβλήματος είναι το εξής: «Σε μία συγκέντρωση του σχολείου αναμένεται να έρθουν 30 γονείς και σε κάθε τραπέζι μπορούν να καθίσουν έξι γονείς. Πόσα τραπέζια χρειαζόμαστε;». Ένα τέτοιο πρόβλημα μπορεί εύκολα να παρασταθεί από τα παιδιά. Αν τα παιδιά ενθαρρύνονται να συζητούν και να συγκρίνουν τις λύσεις που δίνουν, τότε θα μπορέσουν να κατανοήσουν τις αντιστοιχίες στις διαδικασίες και θα συνδέσουν την εξωσχολική γνώση με την επίσημη συμβολική γλώσσα.
Συνοψίζοντας τα παραπάνω μπορεί να πει κανείς ότι όταν τα παιδιά ενθαρρύνονται να λύνουν προβλήματα χρησιμοποιώντας τις ανεπίσημες γνώσεις τους και τις συμβολικές αναπαραστάσεις, μπορούν να κάνουν τις απαραίτητες συνδέσεις αυθόρμητα σε μια σχετικά περιορισμένη χρονικά περίοδο διδασκαλίας. Τα προβλήματα αυτά πρέπει να αφορούν τόσο συνεχείς όσο και ασυνεχείς ποσότητες, όπου και οι δύο μεταβλητές μπορούν με σαφήνεια να παρασταθούν, η ποσότητα που πρέπει να μοιραστεί και ο αριθμός των αποδεκτών. Αν η αναπαράσταση των κλασμάτων εισαχθεί με αυτόν τον τρόπο τότε τα παιδιά θα δουν τη σύνδεση των δύο (Nunes & Bryant, 1996).
Συνήθεις δυσκολίες και λάθη των μαθητών: Κατά την ενασχόληση των μαθητών με τα κλάσματα παρατηρούνται ορισμένα λάθη και παρανοήσεις τα οποία είναι πολύ συνηθισμένα στον μαθητικό πληθυσμό και προδίδουν ελλιπή κατανόηση των σχετιζόμενων εννοιών. Ο εκπαιδευτικός θα πρέπει να αδράξει κυριολεκτικά την ευκαιρία και να εκμεταλλευτεί τα λάθη των μαθητών προκειμένου να τα αναδείξει και δημιουργήσει τις συνθήκες που θα επιτρέψουν στα παιδιά να διασαφήσουν τις ιδέες τους.
Ένα από τα πιο συχνά λάθη που κάνουν οι μαθητές με τα κλάσματα είναι να μην αναγνωρίζουν ότι ένα κλάσμα αποτελεί ένα τμήμα ίσων σε μέγεθος τμημάτων. Ένα δεύτερο λάθος, είναι να επιλέγουν ως μεγαλύτερο το κλάσμα που έχει τον μεγαλύτερο παρονομαστή. Σε αυτή την περίπτωση, καθώς τα παιδιά δεν έχουν κατανοήσει τις εμπλεκόμενες έννοιες, εφαρμόζουν λανθασμένα τους κανόνες σύγκρισης των ακεραίων αριθμών στα κλάσματα (Baroody, 1989). Επίσης τα παιδιά δυσκολεύονται να κατανοήσουν ότι υπάρχει διαφορά ανάμεσα στο κλάσμα μιας ποσότητας και στο κλάσμα μιας ομάδας αντικειμένων. Μπερδεύουν για παράδειγμα το ¼ από τέσσερις πίτες με το ¼ μίας πίτας. Αυτό δεν είναι παράξενο καθώς στα παιδιά δίνονται κυρίως αναπαραστάσεις μόνο συνεχών ποσοτήτων (Baroody, 1989).
Ισοδύναμα κλάσματα: Οι μαθητές έχουν ιδιαίτερη δυσκολία με τα ισοδύναμα κλάσματα, την ιδέα δηλαδή ότι διαφορετικά κλάσματα μπορεί να αναπαριστούν την ίδια ποσότητα (Anderson & Wong, 2007). Η κατανόηση της ισοδυναμίας είναι σημαντική καθώς αποτελεί τη βάση για την κατανόηση της πρόσθεσης και της αφαίρεσης των κλασμάτων και επιτρέπει στους μαθητές να συγκρίνουν και να σειροθετούν κλάσματα. (Kamii, Clark, 1995). Η έννοια του κλάσματος του μισού είναι ίσως η πιο εύκολη από όλες, καθώς προσφέρει στα παιδιά τη δυνατότητα να χρησιμοποιήσουν λογικές σχέσεις τις οποίες ήδη κατανοούν και κατά συνέπεια ο εκπαιδευτικός θα έπρεπε να αρχίσει από αυτή ώστε να μπορέσει να βοηθήσει τους μαθητές να επεκτείνουν τη γνώση τους και να κατανοήσουν την έννοια της ισοδυναμίας. (Nunes & Bryant, 1996).
Γενίκευση εννοιών: Πολύ συχνά παρατηρείται το φαινόμενο τα παιδιά να μην μπορούν να προχωρήσουν από μόνα τους στη γενίκευση μίας έννοιας. Στη γεωμετρία για παράδειγμα μερικά παιδιά δεν κατανοούν την ιδέα ότι μία γωνία αποτελείται από γραμμές που εκτείνονται απεριόριστα από ένα σημείο. Μια ημιτελώς ανεπτυγμένη έννοια μπορεί να αναπτυχθεί σε περίπτωση που παρουσιάζονται στα παιδιά μόνο οξείες για παράδειγμα γωνίες. Αν ένα παιδί αναπτύξει μία τέτοιου τύπου κατανόηση για τις γωνίες μπορεί να μη θεωρεί ότι μια ορθή ή μία αμβλεία γωνία είναι γωνίες. (Baroody, 1989)
Για να αποφύγουμε τέτοιους περιορισμούς στη σκέψη των παιδιών μπορούμε να τους παρέχουμε πολλαπλές αναπαραστάσεις των εννοιών. Οι πολλαπλές αναπαραστάσεις μπορούν να βοηθήσουν τους μαθητές να αναπτύξουν μια ευρύτερη και βαθύτερη κατανόηση των κλασμάτων. (Baroody, 1989) Σε πρωταρχικό επίπεδο τα διαφορετικά επίπεδα σχήματα παρέχουν μια ιδανική εισαγωγή τόσο για τη γεωμετρία και τα κλάσματα όσο και για τη λύση προβλημάτων.(Baroody, 1989)
Ο ρόλος της γεωμετρίας στην ανάπτυξη των μαθηματικών εννοιών: Ένας από τους ρόλους των δραστηριοτήτων γεωμετρίας είναι να εμπλουτίσουν τις ικανότητες αντίληψης χώρου των μαθητών. Οι δεξιότητες που έχουν σχέση με την αντίληψη του χώρου περιλαμβάνουν πολλές πλευρές της κατανόησης του περιβάλλοντος, όπως το να αντιλαμβανόμαστε και να φτιάχνουμε εικόνες και ζωγραφιές, να σχηματίζουμε νοητικές εικόνες και να μπορούμε να αντιληφθούμε νοητικά κίνηση και αλλαγές σε αυτές τις εικόνες. (Young, 1987) Οι ικανότητες που έχουν να κάνουν με το χώρο είναι ιδιαίτερα σημαντικές καθώς η γνώση μας για τον κόσμο επηρεάζεται από την αντίληψη, από το πώς μεταφράζουμε και οργανώνουμε τα οπτικά ερεθίσματα. Κατά δεύτερο λόγο πολλά μαθήματα στην αριθμητική (αλλά και σε άλλα αντικείμενα) χρησιμοποιούν εικόνες και φυσικά αντικείμενα και πρέπει να ερμηνευτούν με συγκεκριμένους τρόπους. (Young, 1987)
Έρευνες όπως αυτή των Gay και McDaniel αναφέρουν θετική σχέση ανάμεσα στο επίπεδο επιτυχίας στα μαθηματικά και στις ικανότητες αντίληψης χώρου σε μαθητές δημοτικού σχολείου. (Gay & McDaniel, 1977). Επίσης, στο βιβλίο του δασκάλου της Ε’ τάξης του δημοτικού (σελ 10) αναφέρεται ότι «Η γεωμετρία χρησιμοποιείται σε πολλές περιπτώσεις είτε ως διδακτικό πλαίσιο γνώσης είτε ως υπόβαθρο διαισθητικής κατανόησης άλλων εννοιών πχ. πολλαπλασιασμός κλασμάτων, διαίρεση ομωνύμων κλασμάτων, ισοδύναμα κλάσματα, δεκαδικοί αριθμοί».
Για τους παραπάνω λόγους επιλέξαμε το υλικό που χρησιμοποιούμε στις διδασκαλίες να εμπεριέχει στοιχεία γεωμετρίας. Ακόμα το δεύτερο μέρος της τρίτης διδασκαλίας (το οποίο αφορά μετατροπές κλασμάτων από δέκατα σε εκατοστά για να καταλήξει στην πρόσθεση ετερώνυμων κλασμάτων) παρομοιάζει δραστηριότητες παζλ καθώς γίνεται προσπάθεια τα παιδιά να βρουν αντιστοιχίες ανάμεσα σε διάφορα κομμάτια. Όταν οι μαθητές ασχολούνται με δραστηριότητες παζλ και φαντάζονται ποιο κομμάτι ταιριάζει σε ποια θέση πριν το χρησιμοποιήσουν, αυτό αποτελεί μια νοητική διαδικασία σημαντική για να αναπτυχθούν χωρικές ικανότητες. (Young, 1987)
Ο ρόλος των εικαστικών στη μάθηση: Κάποιες από τις δραστηριότητες που προτείνονται στις διδασκαλίες συνδυάζουν τη χρήση των εικαστικών με τη διδασκαλία των μαθηματικών εννοιών. Στα πλαίσια των νέων Α.Π. που προωθούν τη διαθεματικότητα και την οριζόντια σύνδεση των μαθημάτων κάτι τέτοιο δεν είναι απλώς αποδεκτό αλλά αναγκαίο. Στις σελίδες 3827-3828 του ΦΕΚ τεύχος β’ Αρ. φύλλου 303, 13 Μαρτίου 2003 αναφέρονται οι άξονες, γενικοί στόχοι και οι θεμελιώδεις έννοιες της διαθεματικής προσέγγισης: να μπορεί ο μαθητής «Να χρησιμοποιεί την τέχνη, για να συμπληρώνει άλλα μαθήματα», «Να χρησιμοποιεί τις εικαστικές τέχνες διαθεματικά με τα άλλα μαθήματα» και «Να χρησιμοποιεί τις γνώσεις του για τις εικαστικές τέχνες στα άλλα μαθήματα» για τις τάξεις Α-Β, Γ-Δ, Ε-ΣΤ αντίστοιχα.
Είναι γνωστό ότι το ιχνογράφημα και η ενασχόληση του παιδιού με τη ζωγραφική εμφανίζεται ως αυθόρμητη δραστηριότητα κατά την οποία το παιδί αντλεί την ευχαρίστησή του από το γεγονός ότι την αντιμετωπίζει σαν παιχνίδι (Μπέλλας, 2000). Επίσης η γενική αρχή των ενισχυτών δραστηριοποίησης, που είναι γνωστή ως «αρχή» του Premack, ορίζει ότι μια συμπεριφορά η οποία εμφανίζεται συχνά και αυτόνομα και κατά συνέπεια έχει ευχάριστες συνέπειες μπορεί να χρησιμοποιηθεί για να ενισχυθεί μια άλλη συμπεριφορά που εμφανίζεται σπάνια και όχι ευχάριστα. (Κολιάδης, 1996). Συνδυάζοντας τα παραπάνω επιλέξαμε, μέσω του υλικού που προτείνουμε, να δώσουμε την ευκαιρία στα παιδιά να βάψουν τμήματα εικόνων καθιστώντας τις δραστηριότητες με τον αυτό πιο ευχάριστες για τα ίδια.