Η πρώτη ημέρα ξεκίνησε με την ανάγνωση στη γωνιά της συζήτησης ενός παραμυθιού με τίτλο: «Κι εμείς πού θα παίζουμε;». το παραμύθι πραγματευόταν την περιπέτεια τριών παιδιών, τα οποία δεν είχαν πλατεία για να παίζουν κι έτσι αποφάσισαν να γράψουν ένα γράμμα στο δήμαρχο και να του ζητήσουν να πλακοστρώσει το εγκαταλελειμμένο χωράφι της γειτονιάς και να τους φτιάξει την πλατεία που επιθυμούσαν. Ο δήμαρχος αρνήθηκε να τους φτιάξει την πλατεία και έτσι τα παιδιά την έφτιαξαν μόνα τους.

Μετά την ανάγνωση του παραμυθιού, παρουσιάσαμε στα παιδιά ένα φάκελο, ο οποίος αναφέραμε πως είχε σταλεί από τους ήρωες του παραμυθιού στο νηπιαγωγείο κι ο οποίος περιείχε μια ζωγραφισμένη πλατεία, ίδια με εκείνη του παραμυθιού, προκειμένου να εστιάσουμε και να επικεντρωθούμε σε αυτό το στοιχείο. Δείχνοντας στα παιδιά την εικόνα της πλατείας ξεκινήσαμε να θέτουμε μια σειρά ερωτήσεων όπως: «Τι είναι αυτό που μας έστειλαν;», «Τι παρατηρείτε ότι έχει;», «Πώς βλέπετε ότι είναι;», «Από τι είναι φτιαγμένη;». αρχικά τα παιδιά εστίασαν την προσοχή τους στα χρώματα της πλατείας, αλλά μέσω μιας σειράς ερωτήσεων κατευθύναμε εν τέλει τη σκέψη τους στο ότι τα χρώματα αυτά αντιστοιχούσαν στα πλακάκια της πλατείας. Εν συνεχεία, επικεντρώσαμε την προσοχή τους στον τρόπου που ήταν τοποθετημένα τα πλακάκια. Κάποιο παιδί απάντησε τοποθετώντας τα χέρια του το ένα επάνω στο άλλο και τότε διηγηθήκαμε στα παιδιά ένα φανταστικό περιστατικό, κατά το οποίο είχαμε σκοντάψει και είχαμε πέσει σε μια πλατεία, επειδή τα πλακάκια ήταν τοποθετημένα το ένα επάνω στο άλλο. Τα παιδιά στο τέλος κατέληξαν στο συμπέρασμα πως τα πλακάκια ήταν βαλμένα το ένα δίπλα στο άλλο και όχι το ένα επάνω στο άλλο, που αποτελεί μια πρώτη προσέγγιση της έννοιας της επικάλυψης. Στη συνέχεια προκειμένου να διαμορφώσουμε από κοινού την έννοια της επικάλυψης παρουσιάσαμε στα παιδιά μια φωτογραφία, η οποία απεικόνιζε μια σωστά πλακοστρωμένη πλατεία.

Καλέσαμε τα παιδιά να παρατηρήσουν και να μιλήσουν για τον τρόπο, με τον οποίο ήταν τοποθετημένα τα πλακάκια. Τα παιδιά μέσα από μια σειρά ερωτήσεων κατέληξαν στο συμπέρασμα πως τα πλακάκια ήταν τοποθετημένα το ένα δίπλα στο άλλο.

Στη συνέχεια, παρουσιάσαμε στα παιδιά μια φωτογραφία, η οποία απεικόνιζε μια πλακοστρωμένη πλατεία, στην οποία τα πλακάκια ήταν τοποθετημένα το ένα επάνω στο άλλο και δημιουργούσαν αλληλοεπικαλύψεις και μια φωτογραφία, η οποία απεικόνιζε μια πλατεία, στην οποία υπήρχαν κενά, έτσι ώστε να αντιληφθούν πληρέστερα τι είναι η επικάλυψη ανακαλύπτοντας πρώτα τι δεν είναι. Ζητήσαμε από τα παιδιά να συγκρίνουν τις φωτογραφίες και να εντοπίσουν τις διαφορές, που υπήρχαν μεταξύ τους και να υποθέσουν σε ποιες από τις περιπτώσεις αυτές θα έπεφτε κανείς, όπως είχε συμβεί και σε εμάς, και γιατί.

Τα παιδιά μέσω της παρατήρησης των φωτογραφιών και μέσω της υποβολής κατάλληλων ερωτήσεων από εμάς κατέληξαν στο συμπέρασμα πως μια σωστά δομημένη πλατεία, στην οποία δε σκοντάφτουν οι άνθρωποι, δεν παρουσιάζει ούτε αλληλοεπικαλύψεις, ούτε κενά. Στο σημείο αυτό προτείναμε στα παιδιά να φτιάξουν τις δικές τους πλατείες κι έτσι ξεκίνησε η πρώτη δραστηριότητα.

1^η Δραστηριότητα

Η πρώτη δραστηριότητα πραγματευόταν τη δημιουργία επικαλύψεων-πλατείας με τη χρήση του ορθογώνιου παραλληλόγραμμου, το οποίο ήταν το σχήμα που είχε ήδη εισαχθεί στις φωτογραφίες, που είχαμε επεξεργαστεί. Η δραστηριότητα αυτή αποτελούνταν από τρεις επιμέρους δράσεις, που αφορούσαν την αναπαραγωγή μιας δοσμένης επικάλυψης, τη συνέχιση ενός μοτίβου και τη δημιουργία μιας επικάλυψης της επικάλυψης των παιδιών. Οι επιμέρους αυτές δράσεις πραγματοποιήθηκαν και σε λογισμικά περιβάλλοντα και με τη χρήση χειραπτικού υλικού.

Έτσι, λοιπόν, αρχικά, τέσσερα παιδιά δραστηριοποιήθηκαν ατομικά στους δύο υπολογιστές και υπόλοιπα εργάστηκαν ανά δύο στη γωνιά της συζήτησης με ορθογώνια παραλληλόγραμμα μικρά χαρτόνια και με ένα φύλλο Α4, που αποτελούσε την προς επικάλυψη επιφάνεια. Υπήρχε η διαρκής μέριμνα να τοποθετούμε τα παιδιά σε μια διαδικασία ανάκλησης των απαιτούμενων γνωρισμάτων μιας ασφαλώς πλακοστρωμένης πλατείας (απουσία κενών και απουσία αλληλοεπικαλύψεων). Ένα περιστατικό το οποίο μας έκανε θετική εντύπωση ήταν το γεγονός ότι η Ε. αφού είχε πειραματιστεί με τα ορθογώνια παραλληλόγραμμα χαρτονάκια, κατευθύνθηκε αυθόρμητα σε έναν πίνακα και ζωγράφισε μια σειρά ορθογώνιων σχημάτων τοποθετημένων το ένα πλάι στο άλλο. Αφού τα πρώτα τέσσερα παιδιά ολοκλήρωσαν τις επιμέρους δράσεις στους υπολογιστές και κατευθύνθηκαν προς τη γωνιά της συζήτησης, ώστε να εργαστούν με το χειραπτικό υλικό, τα υπόλοιπα παιδιά δραστηριοποιήθηκαν ατομικά στους υπολογιστές. Ένα επιπλέον ευχάριστο περιστατικό ήταν τα λόγια της Δ.: «Πιστεύω ότι θα τα καταφέρω» κατά την αναμονή της να πραγματοποιήσει τη δεύτερη δράση της στον υπολογιστή καθώς θεωρούμε ότι φανερώνουν μια αίσθηση υψηλής αυτό-αποτελεσματικότητας, που της προσέφερε η εμπλοκή της στις προηγούμενες δράσεις. Για τα παιδιά εκείνα που είχαν πειραματιστεί και με το χειραπτικό υλικό και στους υπολογιστές επινοήσαμε ένα παιχνίδι, κατά το οποίο αξιοποιήσαμε πλαστικά τούβλα μεγάλου μεγέθους απ’ τη γωνιά του οικοδομικού υλικού. Ζητήθηκε από τα παιδιά να φτιάξουν μια πλατεία χρησιμοποιώντας τα τούβλα αυτά. Τα παιδιά επεσήμαναν μόνα τους την ύπαρξη κάποιων κενών και προέβλεπαν πως θα έπεφταν, εάν περπατούσαν επάνω σε αυτήν. Προτρέπαμε τα παιδιά να ελέγξουν τις προβλέψεις τους, οι προβλέψεις τους επιβεβαιώνονταν κι έτσι διόρθωναν την κατασκευή καλύπτοντας τα κενά. Στη συνέχεια ακόμα τα προτρέπαμε να διαπιστώσουν τι θα γινόταν, εάν περπατούσαν σε μια πλατεία, που θα υπήρχαν αλληλοεπικαλύψεις. Αντιλαμβάνονταν πως και αυτή η μορφή ήταν δυσλειτουργική κι έτσι τελικά κατασκεύασαν μια πλατεία, που προσέγγιζε κατά πολύ τη μορφή μιας επικάλυψης.

Η έναρξη της δεύτερης συνάντησης πραγματοποιήθηκε στη γωνιά της συζήτησης, όπου αρχικά ζητήθηκε από τα παιδιά να αναστοχαστούν επάνω στις δράσεις στις οποίες είχαν εμπλακεί την προηγούμενη ημέρα. Στην ερώτηση, λοιπόν, «Θυμάστε τι κάναμε την προηγούμενη ημέρα;», τα παιδιά απάντησαν πως έφτιαξαν πλατείες χρησιμοποιώντας τουβλάκια. Στη συνέχεια, θελήσαμε να επικεντρώσουμε τη σκέψη τους στο σχήμα το οποίο επεξεργάστηκαν και με το οποίο πραγματοποίησαν διαφόρων μορφών επικαλύψεις, το ορθογώνιο παραλληλόγραμμο. Στο σημείο αυτό είπαμε στα παιδιά πως ο τρόπος, με τον οποίο φτιάξαμε τις πλατείες την προηγούμενη ημέρα στα μαθηματικά ονομάζεται επικάλυψη. Έπειτα από τη μεταγνωστική αυτή διαδικασία, τα παιδιά κλήθηκαν να διατυπώσουν προβλέψεις αναφορικά με τα γεωμετρικά σχήματα εκείνα, τα οποία θα μας βοηθούσαν να φτιάξουμε μια καλή κι ασφαλή πλατεία, να προβλέψουν, δηλαδή, ποια γεωμετρικά σχήματα μπορούν από μόνα τους να δημιουργήσουν επικάλυψη. Τα παιδιά προέβλεψαν πως τα σχήματα, τα οποία θα μας βοηθούσαν να φτιάξουμε μια σωστά πλακοστρωμένη πλατεία ήταν το τρίγωνο, το τετράγωνο, ο κύκλος και ο ρόμβος. Προκειμένου να επιβεβαιωθούν ή να διαψευσθούν οι προβλέψεις τους, τα παιδιά παροτρύνθηκαν να πειραματιστούν με το σχήμα του τριγώνου, του τετραγώνου, του κύκλου. Επιπλέον, ενθαρρύνθηκαν να πειραματιστούν με το σχήμα του εξαγώνου.

2^η δραστηριότητα

Όπως και την πρώτη ημέρα έτσι και κατά τη δεύτερη συνάντηση, τα παιδιά δραστηριοποιήθηκαν και στη γωνιά της συζήτησης και πειραματιζόμενα με μικρά χαρτόνια σε σχήμα τετραγώνου, τριγώνου, κύκλου κι εξαγώνου για την επικάλυψη ενός φύλλου Α4 καθώς και στους υπολογιστές στα κατάλληλα διαμορφωμένα λογισμικά περιβάλλοντα.

Μοιράστηκαν, λοιπόν, κι έτσι ,αρχικά, οκτώ παιδιά δραστηριοποιήθηκαν ατομικά στους υπολογιστές, ενώ τα υπόλοιπα έντεκα εργάστηκαν ατομικά στη γωνιά της συζήτησης. Στη συνέχεια, τα επόμενα οκτώ παιδιά εργάστηκαν στους υπολογιστές, ενώ εκείνα, που είχαν ολοκληρώσει τις δράσεις στα ψηφιακά λογισμικά, κατευθύνθηκαν στη γωνιά της συζήτησης. Κατά τη δραστηριοποίησή τους στους υπολογιστές τα παιδιά ενθαρρύνονταν να λειτουργούν συνεργατικά βοηθώντας το ένα το άλλο μέχρι να έρθει η σειρά τους. Έπειτα από τη ολοκλήρωση του πειραματισμού με όλα τα σχήματα, τα παιδιά ενθαρρύνονταν να σκεφτούν εάν θα μπορούσαν να περπατήσουν σε μια πλατεία φτιαγμένη από τρίγωνα, τετράγωνα, εξάγωνα και κύκλους αντίστοιχα και γιατί. Τα παιδιά στην περίπτωση του τριγώνου, του τετραγώνου και του εξαγώνου ανέφεραν πως μπορούν να μας βοηθήσουν να φτιάξουμε μια ασφαλή πλατεία, ενώ στην περίπτωση του κύκλου αντιλαμβάνονταν πως η πλακόστρωση μιας πλατείας με τη χρήση του σχήματος αυτού δε θα ήταν εφικτή λόγο της ύπαρξης κενών. Μάλιστα, όταν ένα παιδί ερωτήθηκε από τη νηπιαγωγό εάν γίνεται να βάλουμε αλλιώς τους κύκλους, για να γίνει μια πλατεία, όπως τη θέλουμε, εκείνο απάντησε πως δε γίνεται, γιατί θα έπεφτε ο ένας κύκλος επάνω στον άλλον. Στις περιπτώσεις που οι κατασκευές τρίγωνο, τετράγωνο κι εξάγωνο είχαν κενά ή αλληλοεπικαλύψεις, τα παιδιά καλούνταν να φανταστούν και να διατυπώσουν τι θα γινόταν σε περίπτωση που περπατούσαν επάνω στις πλατείες αυτές. Τα περισσότερα παιδιά κατάφερναν να ανακαλέσουν στη μνήμη τους τις αναγκαίες συνθήκες για τη δημιουργία μιας επικάλυψης κι έτσι προέβαιναν στη διόρθωση των αρχικών τους κατασκευών.

Τα παιδιά εκείνα, τα οποία είχαν πειραματιστεί και στον υπολογιστή και στη γωνιά της συζήτησης με τη χρήση χειραπτικού υλικού, οδηγήθηκαν στη γωνιά των εικαστικών και τους ζητήθηκε να ζωγραφίσουν μία πλατεία της αρεσκείας τους.

Όταν όλα τα παιδιά ολοκλήρωσαν όλες τις δράσεις, συγκεντρωθήκαμε στη γωνιά της συζήτησης προκειμένου να προσεγγίσουμε αναστοχαστικά τα όσα είχαν συμβεί την ημέρα εκείνη. Ρωτήσαμε, λοιπόν, τα παιδιά με ποια σχήματα επιχειρήσαμε να φτιάξουμε μια πλατεία, ποια από αυτά ήταν βοηθητικά για τη δημιουργία μιας πλατείας και ποια δεν ήταν και για ποιους λόγους. Οι απαντήσεις αρκετών παιδιών επικεντρώνονταν στις χαρακτηριστικές ιδιότητες της επικάλυψης, δηλαδή την απουσία κενών και αλληλοεπικαλύψεων, γεγονός που σηματοδοτούσε την κατανόηση του τρόπου δημιουργίας μιας επικάλυψης.

Κατά την έναρξη της τρίτης συνάντησης συγκεντρωθήκαμε στη γωνιά της συζήτησης, όπου ζητήθηκε από τα παιδιά να στοχαστούν επάνω στις δράσεις, που πραγματοποιήθηκαν την προηγούμενη ημέρα. Ζητήσαμε από τα παιδιά, λοιπόν, να θυμηθούν ποια ήταν τα σχήματα εκείνα, τα οποία μας βοήθησαν να κατασκευάσουμε μια πλατεία ασφαλή και να επιχειρηματολογήσουν επάνω στις απαντήσεις τους. Τα παιδιά απάντησαν πως τα σχήματα εκείνα, τα οποία μπορούν από μόνα τους να δημιουργήσουν επικάλυψη είναι το τρίγωνο, το τετράγωνο και το εξάγωνο (ή διαμάντι σύμφωνα με κάποια από τα παιδιά), καθώς, όπως ανέφεραν, τα σχήματα αυτά δεν αφήνουν “τρύπες”. Για τον κύκλο ανέφεραν πως δεν μας βοηθά να φτιάξουμε μια πλατεία, στην οποία δε θα σκοντάφτουμε, όταν περπατάμε, καθώς αφήνει “τρύπες” και κενά. Η Ε., μάλιστα, υπέθεσε πως το σχήμα, το οποίο χρειάζεται, για να καλύψει τα κενά, που δημιουργούν οι κύκλοι, είναι ο ρόμβος. Αφού, λοιπόν, τα παιδιά ανακάλεσαν στη μνήμη τους τα σχήματα, που δημιουργούν από μόνα τους επικάλυψη καθώς και τα χαρακτηριστικά γνωρίσματα της επικάλυψης, είπαμε στα παιδιά πως το προηγούμενα βράδυ συνέβη κάτι αναπάντεχο. Ρωτήσαμε τα παιδιά αν θυμούνταν την πλατεία, που είχαν φτιάξει οι ήρωες του παραμυθιού και τους είπαμε πως το προηγούμενο βράδυ ένα βαρύ φορτηγό πέρασε επάνω από την πλατεία, την έσπασε και παρέσυρε παρά δίπλα κάποια από τα κομμάτια τους. Ζητήσαμε, λοιπόν, από τα παιδιά να βοηθήσουν τους ήρωες του παραμυθιού να ξαναφτιάξουν την πλατεία τους.

3^η Δραστηριότητα

Τα παιδιά χωρίστηκαν σε δύο ομάδες των εννέα και πειραματίστηκαν εκ περιτροπής στη γωνιά της συζήτησης και στους υπολογιστές. Στο λογισμικό περιβάλλον καθώς και στην αντίστοιχη κατασκευή από χαρτόνι δίνονταν η αναπαράσταση της σπασμένης πλατείας καθώς και τα σχήματα, τα οποία έλειπαν. Για τον πειραματισμό στη γωνιά της συζήτησης είχαμε, επιπλέον, κατασκευάσει από χαρτόνι τα σχήματα, που συνδυαζόμενα θα δημιουργούσαν εκ νέου μια πλατεία, ίδια με την πλέον ανακατασκευασμένη πλατεία. Τα παιδιά καλούνταν πειραματιζόμενα ατομικά στους ψηφιακούς μικρόκοσμους να τοποθετήσουν τα σχήματα στα κενά της σπασμένης πλατείας.

Στη γωνιά της συζήτησης οι δράσεις που αναπτύχθηκαν ήταν δύο και τα παιδιά εργάστηκαν ανά τρία. Η πρώτη δράση αφορούσε τη δημιουργία επικάλυψης με την κάλυψη των κενών της σπασμένης πλατείας κάνοντας χρήση των δοσμένων σχημάτων, που απουσίαζαν. Η δεύτερη δράση καλούσε τα παιδιά να δημιουργήσουν εν είδει παζλ κι έχοντας ως πρότυπο την ανακατασκευασμένη πλέον πλατεία μια ίδια με αυτή δίνοντάς τους τα χάρτινα σχήματα που απαιτούνταν, πράγμα το οποίο μόνο λίγα κατάφεραν.

Όταν οι δράσεις αυτές ολοκληρώθηκαν, βγήκαμε στην αυλή του σχολείου, προκειμένου να δημιουργήσουν τα παιδιά μια επικάλυψη με τη χρήση μεγάλων και ποικίλων σχημάτων από χαρτόνι. Τοποθετήσαμε τα σχήματα μπροστά τους και καλούσαμε τα παιδιά αρχικά ένα-ένα και στη συνέχεια όλα μαζί να παίρνουν από ένα σχήμα και να το τοποθετούν με τέτοιο τρόπο, ώστε να δημιουργηθεί μια μεγάλη πλατεία. Ο μεγάλος αριθμός παιδιών, η πληθώρα και η ποικιλία των σχημάτων οδήγησε στη δημιουργία επιμέρους επικαλύψεων κι όχι στην κατασκευή μιας ενιαίας. Ωστόσο, παρά την πρακτική δυσκολία να δημιουργήσουν την επικάλυψη, τα παιδιά μέσω των απαντήσεων, που έδιναν, στις ερωτήσεις μας για το πώς πρέπει να φτιαχτεί η πλατεία και μέσω των επισημάνσεων των ίδιων των παιδιών για την ύπαρξη κενών ή αλληλοεπικαλύψεων αντιλαμβανόμασταν πως είχε επιτευχθεί η κατανόηση της έννοιας της επικάλυψης.

Μετά το πέρας της δραστηριότητας αυτής συγκεντρωθήκαμε στη γωνιά της συζήτησης, όπου μιλήσαμε για τις δράσεις, που πραγματοποιήθηκαν την ημέρα εκείνη και τα παιδιά μέσω των κατάλληλων ερωτήσεών μας κατέληξαν στο συμπέρασμα πως διάφορα σχήματα, συνδυαζόμενα μεταξύ τους μπορούν να δημιουργήσουν επικάλυψη, ακόμα και ο κύκλος, ο οποίος από μόνος του έχει ”τρύπες”. Στη συνέχεια, είπαμε στα παιδιά ότι και αυτά, όπως και οι ήρωες του παραμυθιού δεν είχαν κάποιον χώρο για να παίζουν και τα προτρέψαμε να γράψουν με τις νηπιαγωγούς ένα γράμμα στο δήμαρχο και να του ζητήσουν να τους φτιάξει μια πλατεία για να παίζουν καθώς και να ζωγραφίσουν την πλατεία, που θα ήθελαν να έχουν. Ένα μικρό ποσοστό λόγω της κούρασης, που είχε επέλθει, δεν έφτιαξε μια πλατεία, αλλά κάποια ζωγραφιά της αρεσκείας του. Στο τέλος, ζητήσαμε από όλα τα παιδιά να μας περιγράψουν τι είχαν ζωγραφίσει και από τα παιδιά που είχαν ζωγραφίσει μια πλατεία να μας πουν με ποιον τρόπο την είχαν φτιάξει, προκειμένου να αναφερθούμε μια τελευταία φορά στα χαρακτηριστικά της επικάλυψης.