Η παρούσα εργασία εντάσσεται στα πλαίσια της κατεύθυνσης του Ηλεκτρονικού Παιδαγωγικού Υλικού του Προγράμματος Μεταπτυχιακών Σπουδών. Σκοπός της εργασίας μας ήταν να οργανώσουμε, να πραγματοποιήσουμε και να αξιολογήσουμε μια διδακτική παρέμβαση, κάνοντας χρήση ενός εκπαιδευτικού λογισμικού. Αποφασίσαμε λοιπόν, να χρησιμοποιήσουμε το λογισμικό Cabri-Geometry II σε παιδιά προσχολικής εκπαίδευσης, γιατί μας ενδιέφερε ν’ ανακαλύψουμε το πώς θα λειτουργήσουν τα παιδιά αυτής της ηλικίας με αυτό, μιας και το Cabri απευθύνεται σε μαθητές γυμνασίου και λυκείου. Μέλημά μας ήταν να σχεδιάσουμε δραστηριότητες, που να ανταποκρίνονται στο γνωστικό επίπεδο των παιδιών και να εναρμονίζονται με τους στόχους που ορίζει το Δ.Ε.Π.Π.Σ. για το Νηπιαγωγείο.

Προτού αναφερθούμε στη παρουσίαση των χαρακτηριστικών του Cabri και των Δραστηριοτήτων, θα κάνουμε μια σύντομη νύξη γύρω από την χρήση του υπολογιστή στη Προσχολική Εκπαίδευση.

ΤΠΕ και Εκπαίδευση

Ο Ηλεκτρονικός Υπολογιστής στη Προσχολική Εκπαίδευση

Ζούμε σε μια εποχή που δε μπορούμε να φανταστούμε τη ζωή μας χωρίς τον ηλεκτρονικό υπολογιστή. Αναπόφευκτα, έχει εισχωρήσει και σε όλες τις βαθμίδες της εκπαίδευσης. Όπως, έχει τονίσει ο Papert o υπολογιστής είναι τόσο σημαντικό εργαλείο για τα παιδιά της τεχνολογικής εποχής, όσο το μολύβι και το χαρτί για τα παιδιά της προηγούμενης γενιάς (Ντολιοπούλου, 1999). Η εισαγωγή του στις προσχολικές τάξεις αποτελεί μία από τις πιο σημαντικές καινοτομίες των τελευταίων ετών στην εκπαίδευση των μικρών παιδιών. Ένα βασικό πλεονέκτημα του υπολογιστή, και πιθανόν ένας από τους λόγους διάδοσής του, είναι η δυνατότητά του να προσφέρει πολλές διαφορετικές εμπειρίες, δίνοντας την ευκαιρία σε παιδιά από διαφορετικά κοινωνικά, οικονομικά κ.α. πλαίσια να αποκτήσουν γνώσεις και να εκφραστούν με πολλαπλούς τρόπους.

Όσον αφορά την αξιοποίηση των νέων τεχνολογιών στην προσχολική εκπαίδευση έχουν γίνει σπουδαιότατες ενέργειες. Ενδεικτικά αναφέρουμε την προσπάθεια να προσεγγιστούν οι φυσικές επιστήμες, η περιβαλλοντική εκπαίδευση και οι νέες τεχνολογίες στην προσχολική και πρώτη σχολική ηλικία σύμφωνα με το εποικοδομητικό μοντέλο μάθησης. Έχουν επίσης ανιχνευτεί θέματα όπως η χρήση υπολογιστών σε νηπιαγωγεία η στάση των νηπιαγωγών απέναντι στην εισαγωγή των υπολογιστών στην πρώτη σχολική ηλικία, η προσέγγιση των φυσικών επιστημών και των μαθηματικών ή η χρήση συστημάτων εικονικής πραγματικότητας με μικρά παιδιά. Μάλιστα όσον αφορά τη στάση των νηπίων τα αποτελέσματα πρόσφατης έρευνας σε μαθητές προσχολικής αγωγής με στόχο «τη διερεύνηση των εμπειριών των νηπίων και τη μελέτη των γνώσεων, δεξιοτήτων, στάσεων και συμπεριφορών που καλλιεργούν οι μαθητές και οι μαθήτριες του νηπιαγωγείου, όταν εμπλέκονται σε μαθησιακές δραστηριότητες με υπολογιστή», έδειξαν ότι η παιδαγωγική αξιοποίηση του υπολογιστή στην εκπαιδευτική διαδικασία είχε θετική επίδραση στην ποιότητα της μάθησης των παιδιών μέσω της ενεργού συμμετοχής τους σε αυθεντικές, βιωματικές μαθησιακές διαδικασίες, καθώς επίσης και ότι ανέπτυξαν και καλλιέργησαν πνευματικές δεξιότητες υψηλού επιπέδου και δεξιότητες σε γνωστικό, συναισθηματικό, και κοινωνικό επίπεδο (Ντολιοπούλου, 2000).

Μαθηματικά και Υπολογιστές

Οι σύγχρονες αντιλήψεις σχετικά με τη διδασκαλία και τη μάθηση των Μαθηματικών, θεωρούν ότι η διδασκαλία των Μαθηματικών δεν αφορά μόνο γνώσεις και κατάκτηση ενός συγκεκριμένου επιπέδου ικανοτήτων, αλλά περιλαμβάνει διαδικασίες μάθησης, οι οποίες αντιμετωπίζουν τα μαθηματικά με μια νέα παιδαγω-διδακτική προσέγγιση, που στηρίζεται στην ερευνητική – ανακαλυπτική διάθεση του μαθητή (Δημητρακοπούλου, 1998). Ο σκοπός της διδασκαλίας των Μαθηματικών εντάσσεται στους γενικότερους σκοπούς της εκπαίδευσης, μεταξύ των οποίων είναι η ολοκλήρωση της προσωπικότητας του μαθητή και η επιτυχής κοινωνική ένταξή του (Δ.Ε.Π.Π.Σ., 2000). Για την επίτευξη των παραπάνω στόχων χρειάζονται συνδυαστικές μέθοδοι διδασκαλίας που θα εξασφαλίζουν την ενεργητική συμμετοχή όλων των μαθητών μέσα στην τάξη ανάλογα με τις δυνατότητές τους. Οι μαθητές θα εργάζονται κριτικά, ανακαλυπτικά, συνεργατικά, δημιουργικά μέσα από ομάδες εργασίας, παράλληλη χρήση Η/Υ και άλλων δραστηριοτήτων. Ο ρόλος του εκπαιδευτικού θα είναι συμβουλευτικός και καθοδηγητικός.

Είναι, πλέον παραδεκτό ότι μια από τις εν δυνάμει καινοτόμες χρήσεις των υπολογιστών είναι και η ανάπτυξη της μαθηματικής παιδείας των μαθητών. Ολοένα και περισσότερο αναγνωρίζεται η σημασία της πληροφορικής ως εργαλείου στη διδασκαλία και τη μάθηση μαθηματικών εννοιών αλλά και όλων των άλλων γνωστικών αντικειμένων. Στην περίπτωση των Μαθηματικών τονίζεται το ότι η Τεχνολογία η οποία διαμορφώνεται και διαμορφώνει τα Μαθηματικά επηρεάζει επίσης και τον τρόπο της διδασκαλίας και της μάθησής τους και δίνει νέες διαστάσεις στο αντικείμενο το οποίο διδάσκεται. Με τη χρήση των υπολογιστών στο σχολείο μπορεί να αλλάξει η κουλτούρα της μάθησης των μαθηματικών κατά τρόπο που δεν κατάφερε η παραδοσιακή διδασκαλία. Βέβαια κάτι τέτοιο δεν σημαίνει ότι καταργούνται τα παραδοσιακά μαθηματικά, αλλά η προσέγγιση μέσω του υπολογιστή τα διευρύνει και τα ζωντανεύει.

Θεωρίες μάθησης

Κοινωνικές και εποικοδομιστικές προσεγγίσεις στη μάθηση

Α) Η σημασία της εμπειρίας του ατόμου στην κατασκευή της γνώσης του

Σύμφωνα με τις σύγχρονες θεωρίες μάθησης, η εμπλοκή του ατόμου στην επίλυση εμπειρικών προβλημάτων θεωρείται βασική κατασκευή της γνώσης του. Η αξία των γνωστικών δομών του ατόμου καθορίζεται από το κατά πόσον αυτές ταιριάζουν με την εμπειρία του και κατά πόσον είναι βιώσιμες, δηλαδή κατά πόσον μπορούν να λύσουν προβλήματα. Για να μπορέσει το άτομο να μάθει μέσα από την εμπειρία του, θα πρέπει να παρατηρήσει και να οργανώσει τα γεγονότα που την αποτελούν χωρίζοντάς τα σε μέρη. Στη συνέχεια, θα πρέπει να ερμηνεύσει την εμπειρία προβλέποντας τα αναμενόμενα αποτελέσματα σε μελλοντικές παρόμοιες καταστάσεις. Εάν μέσα από την οργάνωση αυτή κάποιο συμπέρασμα φανεί χρήσιμο, τότε σημαίνει ότι η οργάνωση αυτή είναι βιώσιμη και το άτομο κατανόησε τον πραγματικό κόσμο.

Στο περιβάλλον Cabri-geometry II οι μαθητές έχουν τη δυνατότητα να πειραματιστούν προκειμένου να πραγματοποιήσουν μια γεωμετρική κατασκευή ή να προβληματιστούν για το τι είναι δυνατόν να συμβαίνει σε ένα γεωμετρικό πρόβλημα και να διατυπώσουν εικασίες- προβλέψεις- γενικεύσεις. Μέσα από την πειραματική διαδικασία ο μαθητής αποκτά σιγουριά για το τι είναι αυτό που συμβαίνει και αποζητά πλέον τρόπους προκειμένου να το αποδείξει. Συνεπώς, στην προσπάθεια τους να αναπτύξουν μεθόδους απόδειξης, είναι δυνατόν να συνδυάσουν την επαγωγική και την παραγωγική μέθοδο στα πλαίσια της καλλιέργειας της γεωμετρικής τους λογικής.

Β) Η σημασία των ενεργειών του ατόμου στη μάθησή του

Η μαθηματική γνώση συνδέεται με τη δυνατότητα κατασκευής νέων αποτελεσμάτων και να δεν περιορίζεται στην ανάκληση πληροφορίας από τη μνήμη του ατόμου. Σύμφωνα με τον Piaget, η μαθηματική γνώση είναι περισσότερο λειτουργική παρά εικονική. Οι λειτουργίες αποτελούν ενέργειες που έχουν εσωτερικευτεί από το άτομο μέσω του αναστοχασμού, μπορούν να αντιστραφούν, είναι αμετάβλητες και αποτελούν μέρος ενός συστήματος λειτουργιών. Για τον Piaget ένα σχήμα (scheme) αποτελείται από τα επαναλαμβανόμενα και γενικεύσιμα χαρακτηριστικά που προέκυψαν από τις ενέργειες του ατόμου. Έτσι λοιπόν, σημασία πρέπει να δίνεται στη διαδικασία και στην προσπάθεια κατασκευής αυτής της υποκειμενικής γνώσης και όχι μόνο στα αποτελέσματα αυτής της διαδικασίας.

Το Cabri-geometry II είναι ένα περιβάλλον το οποίο δεν προσφέρει στο μαθητή γνώση που να στηρίζεται στην πληροφορία, αλλά διαθέτει βασικά γεωμετρικά εργαλεία προκειμένου να κατασκευάσει τη γνώση του ενεργητικά. Ο μαθητής χρησιμοποιώντας τα εργαλεία που προσφέρει το περιβάλλον μπορεί να δημιουργήσει γεωμετρικές κατασκευές. Επιπλέον, ο μικρόκοσμος του Cabri-geometry II, παρέχει στο μαθητή δυνατότητες υψηλής αλληλεπίδρασης καθώς όλες οι ενέργειες του συνοδεύονται από εικονική ανατροφοδότηση ή από λεκτικά μηνύματα. Αυτό συμβαίνει ώστε ο χρήστης να μην αισθάνεται χαμένος στο περιβάλλον ή ξένος μέσα σε αυτό. Σύμφωνα με τον Clements (1989), οι δυνατότητες αυτές μπορούν να δώσουν στο μαθητή ευκαιρίες για «δραστήρια» μάθηση σε σύγκριση μάλιστα, με τα παραδοσιακά αδρανή περιβάλλοντα (χαρτί-μολύβι ή φυσικά αντικείμενα), στα οποία οι ενέργειες του μαθητή δεν συνδέονται με κάποια αποτελέσματα (Κορδάκη, 2001).

Γ) Η σημασία του αναστοχασμού στη μάθηση του

Η λειτουργική γνώση είναι αποτέλεσμα αναστοχασμού ο οποίος παρόλο που δεν είναι παρατηρήσιμος, έχει παρατηρήσιμα αποτελέσματα. Σύμφωνα με τον Locke, αναστοχασμός είναι η ικανότητα του νου να παρατηρεί τις λειτουργίες του και είναι το προαπαιτούμενο στάδιο της ερμηνευτικής διαδικασίας. Η ερμηνευτική διαδικασία έχει ως στόχο να βοηθήσει το άτομο να απαντήσει σε ερωτήματα όπως «τι έγινε;» και «γιατί έγινε;». Ο αναστοχασμός κατά τη διαδικασία της μάθησης είναι απαραίτητος στο μαθητή ώστε να φέρει εις πέρας τη δραστηριότητα, εφόσον μπορεί να την ελέγχει και να την παρακολουθεί, να ξέρει οποιαδήποτε στιγμή τι κάνει και γιατί κάτι είναι σωστό. Η προσπάθεια αναστοχασμού που έχει θετικό αποτέλεσμα, αποτελεί ισχυρό κίνητρο για τον μαθητή και συγκεκριμένα, όταν η επιβράβευση της ορθότητας μιας προσπάθειας προέρχεται από την ικανοποίηση που νιώθει ο ίδιος ο μαθητής για το αποτέλεσμα.

Ο υπολογιστής ίσως είναι το μοναδικό μέσο το οποίο επιτρέπει στο μαθητή να κατασκευάσει γραφικές αναπαραστάσεις, να βλέπει τα αποτελέσματα των κατασκευών του, να τα διαχειρίζεται και να τα τροποποιεί δημιουργώντας πιο έξυπνους και πολύπλοκους σχεδιασμούς. Η εικονική ανατροφοδότηση των ενεργειών του μαθητή στο περιβάλλον του Cabri-geometry II, μπορεί να αποτελέσει πολύ αποδοτικό τρόπο εικονικής επικοινωνίας των μαθηματικών ιδεών των παιδιών. Παράλληλα, η Laborde (1992) επισημαίνει τη σημασία που έχει η αισθητηριακή αντίληψη στη λύση των γεωμετρικών προβλημάτων. Ειδικά στο Cabri-geometry II, η δυνατότητα που δίνει ώστε τα σχήματα να μεταβάλλονται στην οθόνη του υπολογιστή, διατηρώντας τις βασικές τους ιδιότητες, μαζί με την εικονική ανατροφοδότηση, διαμορφώνουν ένα νέο είδος αισθητηριακής αντίληψης. Τέλος, η ανατροφοδότηση εκτός από αισθητηριακή, περιέχει και πληροφορίες που βοηθούν τοι μαθητή να ελέγξει την ορθότητα των υποθέσεων που είχε κάνει αρχικά για τις ιδιότητες των σχημάτων (Κορδάκη, 2001).

Δ) Ο υποκειμενικός χαρακτήρας της γνώσης

Σύμφωνα με πρόσφατες έρευνες, οι μαθητές φαίνεται να μην αφομοιώνουν τις πληροφορίες που δέχονται από τις διδακτικές παρεμβάσεις, αλλά να επεξεργάζονται τις πληροφορίες που τους παρέχονται ξεχωριστά ο κάθε ένας, μέσα από τις δικές τους γνωστικές λειτουργίες. Γι’ αυτό άλλωστε τον λόγο, οι αντιλήψεις και οι γνώσεις που έχει ένα άτομο, διαφέρουν από τις γνώσεις και αντιλήψεις που έχει ένα άλλο άτομο. Επιπλέον, οι αντιλήψεις των μικρών παιδιών έχουν κατασκευαστεί μέσα από διαφορετικές ενέργειες, σε διαφορετικές καταστάσεις και δραστηριότητες και δεν μπορούν να θεωρηθούν μη τελειοποιημένες αντιλήψεις των ενηλίκων. Σύμφωνα με τον Piaget (1970), ο αισθησιοκινητικός αντιληπτικός κόσμος των παιδιών έχει χτιστεί μέσα από τις εμπειρίες τους. Και αυτό είναι ιδιαίτερα εμφανές από τις λέξεις που χρησιμοποιούν τα παιδιά, οι οποίες ναι μεν είναι ίδιες με αυτές των ενηλίκων, ωστόσο «η νοητική διαδικασία η οποία παράγεται στο παιδί με τη βοήθεια της γλώσσας δε συμπίπτει με τις πράξεις που υλοποιούν τη νοητική διαδικασία του ενήλικου κατά την εκφορά της ίδιας λέξης (Vygotsky, 1988). Η αναγνώριση του διαφορετικού τρόπου σκέψης των παιδιών επιδρά και στον τρόπο διδασκαλίας, καθώς ο δάσκαλος πρέπει να διαχωρίσει τα δικά του μαθηματικά από τα μαθηματικά του παιδιού, να μην τα ερμηνεύει μέσα από τις δικές του εμπειρίες αλλά να δίνει σημασία στα μαθηματικά που πράγματι το παιδί κατασκευάζει.

Στο ανοιχτό περιβάλλον του Cabri-geometry II, ο μαθητής έχει στην διάθεσή του ποικιλία εργαλείων, με τα οποία μπορεί να κατασκευάσει τις δικές του στρατηγικές επίλυσης σύμφωνα με τις ιδιαιτερότητές του στην μάθηση. Τέλος, η δυνατότητα μελέτης πολλαπλών μορφών αναπαραστάσεων μιας έννοιας μέσα από εικονικά ή αριθμητικά δεδομένα ή γραφικές αναπαραστάσεις δίνει ευκαιρία στους μαθητές να εκφράσουν τις ιδιαιτερότητές τους στον τρόπο που μαθαίνουν.

Ε) Ο ρόλος των εργαλείων στη νοητική εξέλιξη του μαθητή

Οι Noss&Hoyles (1996) θεώρησαν τους υπολογιστές ως εργαλεία όπως είναι τα σφυριά και τα ψαλίδια, τα οποία μπορούν να αναπαραστήσουν συμβολικά συστήματα και επομένως να μεταφέρουν ψυχολογικά σημεία. Το γεγονός ότι ο μαθητής έχει στην διάθεσή του εργαλεία μέτρησης και σχεδίασης, του δίνει τη δυνατότητα να κάνει γενικεύσεις, να εξάγει συμπεράσματα, να πραγματοποιεί συγκρίσεις μεταξύ των υποθέσεων και των αποτελεσμάτων που προέρχονται από μετρήσεις, όπως και να αναπτύξει το αίσθημα της ανάγκης για αιτιολόγηση. Επιπλέον, η ποικιλία εργαλείων και αναπαραστάσεων δίνει την ευκαιρία για εξατομικευμένη μάθηση καθώς ο μαθητής εργάζεται ανάλογα με τις δυνατότητες αλλά και τις ανάγκες που έχει. Η Laborde υποστηρίζει ότι ο τρόπος που θα υλοποιήσει ο μαθητής τις ενέργειές του στο εκπαιδευτικό λογισμικό, τον περιορίζει αλλά ταυτόχρονα τον υποστηρίζει, στην προσπάθεια του να επιλύσει ένα πρόβλημα. Αυτό έχει ως αποτέλεσμα να επιδρά στη διαμόρφωση των στρατηγικών επίλυσης που κατασκευάζει. Τα εργαλεία παίζουν το ρόλο του διαμεσολαβητή μεταξύ του μαθητή και της μαθηματικής έννοιας. Ακόμη, δεν εξυπηρετούν απλώς τις νοητικές διεργασίες αλλά τις διαμορφώνουν και τις τροποποιούν ενώ ταυτόχρονα επηρεάζουν καθοριστικά τις ενέργειες του χρήστη. Παράλληλα, η δραστηριότητα, τα εργαλεία και οι ενέργειες των ατόμων αλληλοσυνδέονται μέσω των διαμεσολαβητικών νοημάτων και των ατόμων που τα χρησιμοποιούν με μοναδικό τρόπο σε συγκεκριμένες περιπτώσεις.

Ο μαθητής στο περιβάλλον του Cabri-geometry II έχει στην διάθεσή του ποικιλία εργαλείων με τα οποία μπορεί να δημιουργήσει γεωμετρικά σχήματα. Τα εργαλεία αυτά έχουν σχεδιαστεί ώστε να απεικονίζουν τις γεωμετρικές έννοιες με γραφικό τρόπο στην οθόνη του υπολογιστή. Τα σχήματα τα οποία κατασκευάζονται στην οθόνη του υπολογιστή ονομάζονται υπολογιστικά αντικείμενα διότι οι ιδιότητές τους διατηρούνται, ενώ η εικονική τους μορφή μπορεί να μεταβάλλεται ύστερα από διαχείρισή τους από τον χρήστη. Έτσι λοιπόν, τα εργαλεία τα οποία υπάρχουν στην διεπιφάνεια του ψηφιακού αυτού περιβάλλοντος όπως και τα υπολογιστικά αντικείμενα, διαμεσολαβούν μεταξύ των γεωμετρικών εννοιών και του μαθητή, κατά τη διάρκεια της αλληλεπίδρασής του με το πρόγραμμα.

Στ) Η σχέση των σχημάτων και των εννοιών στην ανάπτυξη της γεωμετρικής λογικής

Σύμφωνα με την Mariotti (2001), οι εξωτερικές εικόνες αλληλεπιδρούν με τις εσωτερικές οι οποίες ερμηνεύονται σε εικονικές έννοιες, διότι οι εξωτερικές εικόνες παρέχουν αισθητική παρότρυνση για τις εικονικές έννοιες. Υπάρχει μια σχέση μεταξύ της ανάπτυξης της γεωμετρικής λογικής και των εικόνων που σχεδιάζονται στην οθόνη του υπολογιστή. Στο περιβάλλον χαρτί-μολύβι, υπάρχει συμφωνία για το πόσο χρήσιμη είναι η σχεδίαση ώστε να αναπτυχθεί η γεωμετρική λογική. Τα σχήματα στη γεωμετρία έχουν σύνθετο ρόλο στην παρουσίαση της γεωμετρικής γνώσης καθώς αποτελούν ένα είδος «εικονικών εννοιών» (figural concepts). Το να αναγνωρίζει κανείς την εικονική πληροφορία που περιέχουν τα σχήματα και να μπορεί να τα επεξεργαστεί εικονικά είναι πολύ σημαντικό για την κατάκτηση της γεωμετρικής σκέψης. Η Mariotti (2001), υποστηρίζει ότι η γεωμετρία είναι ένας χώρος όπου οι εικόνες και οι έννοιες πρέπει να βρίσκονται σε πλήρη αλληλεπίδραση. Οι δυνατότητες που έχουν οι ηλεκτρονικοί υπολογιστές να δείχνουν πολλαπλές εικονικές αναπαραστάσεις του ίδιου σχήματος, έχουν αξιοποιηθεί ώστε να δημιουργηθεί κατάλληλο εκπαιδευτικό λογισμικό. Οι εικόνες που δημιουργούνται με τη βοήθεια των μικρόκοσμων, δεν είναι αναπαραστάσεις αισθητηριακού επιπέδου που δεν έχουν να παρουσιάσουν κάτι σημαντικό, αλλά έχουν δική τους εσωτερική λογική η οποία εξαρτάται από τη διαδικασία που τις παράγει και τις εμφανίζει στην οθόνη του υπολογιστή.

Το ανοιχτό λογισμικό Cabri-geometry II, βοηθά στο να αλληλεπιδρά το εικονικό και το εννοιολογικό μέρος της γεωμετρικής λογικής. Η αλληλεπίδραση με τον υπολογιστή πραγματοποιείται με την χρήση εντολών που βρίσκονται στο περιβάλλον διεπαφής του λογισμικού, και οι οποίες αντανακλούν κάθε φορά εννοιολογικό και αισθητηριακό σκοπό ταυτόχρονα. Το σχήμα που εμφανίζεται στην οθόνη του υπολογιστή, αναπαριστά μόνο το ένα μέρος της φύσης του. Η εσωτερική λογική με την οποία ένα σχήμα κατασκευάστηκε, δεν εμφανίζεται άμεσα αλλά μόνο όταν ένα του στοιχείο μετακινείται. Με τη λειτουργία του συρσίματος (dragging) μπορεί να μετακινηθεί ένα στοιχείο της εικόνας, ενώ όλες οι υπονοούμενες γεωμετρικές σχέσεις παραμένουν αμετάβλητες. Έτσι η εικόνα φαίνεται διαφορετική, αλλά οι γεωμετρικές της ιδιότητες διατηρούνται. Με αυτό λοιπόν τον τρόπο, διαφαίνονται οι κρυμμένες γεωμετρικές σχέσεις.

Θεωρία Van Hiele

Τα επίπεδα κατανόησης

Ο P. Van Hiele (1959) κατέληξε στη διατύπωση των πέντε επιπέδων κατανόησης και των φάσεων της μάθησης, που τράβηξαν αμέσως τη προσοχή της παγκόσμιας επιστημονικής κοινότητας. Τα επίπεδα αυτά όσον αφορά τη σχολική γεωμετρία είναι τα εξής:

• Επίπεδο 0 : Οι μαθητές αναγνωρίζουν σχήματα από τη συνολική μορφή τους, σαν μια ολότητα. Μπορούν να τα κατονομάσουν π.χ. ως τρίγωνα, τετράγωνα ή κύβους αλλά δεν μπορούν να διατυπώσουν τις ιδιότητές τους. Για την περιγραφή τους χρησιμοποιούν οπτικά πρότυπα π.χ. ένα σχήμα είναι ορθογώνιο όταν μοιάζει με πόρτα κ.λ.π.

• Επίπεδο 1 : Οι μαθητές μπορούν να αναγνωρίσουν ένα σχήμα από τις ιδιότητές του, π.χ. ένα σχήμα είναι ορθογώνιο γιατί έχει τέσσερις ορθές γωνίες. Μπορούν, επίσης, να αναφέρουν άλλες ιδιότητες των σχημάτων, π.χ. «τα ορθογώνια έχουν ίσες διαγώνιες» ή «ένας ρόμβος έχει τις διαγώνιες κάθετες», αλλά δεν μπορούν να τα ορίσουν τυπικά ή να αποδείξουν τις ιδιότητες.

• Επίπεδο 2 : Οι μαθητές συνδέουν τα σχήματα με βάση τις ιδιότητές τους και τα ταξινομούν σε κατηγορίες, π.χ. "κάθε τετράγωνο είναι ορθογώνιο". Αρχίζουν να κατανοούν το ρόλο του ορισμού. Μπορούν να κάνουν απλούς παραγωγικούς συλλογισμούς αλλά δεν μπορούν να κατανοήσουν ή να συνθέσουν πλήρεις αποδείξεις των ισχυρισμών τους.

• Επίπεδο 3 : Οι μαθητές αναπτύσσουν συλλογισμούς για να αποδείξουν μια πρόταση χρησιμοποιώντας δεδομένα π.χ. πώς το αξίωμα της παραλληλίας συνεπάγεται ότι το άθροισμα γωνιών τριγώνου είναι 180ο. Δεν αναγνωρίζουν όμως την ανάγκη για αυστηρότητα στην απόδειξη και δεν κατανοούν τις σχέσεις μεταξύ διαφόρων αξιωματικών συστημάτων. Στο Λύκειο η μελέτη της Γεωμετρίας ξεκινάει από αυτό το επίπεδο.

• Επίπεδο 4 : Οι μαθητές είναι σε θέση να αναλύσουν διάφορα αξιωματικά συστήματα με μεγάλη αυστηρότητα συγκρίσιμη με την προσέγγιση του Hilbert στη θεμελίωση της γεωμετρίας. Γνωρίζουν την ύπαρξη και άλλων αξιωματικών θεμελιώσεων για την Ευκλείδεια Γεωμετρία εκτός από αυτή του Hilbert. Κατανοούν ιδιότητες όπως η συνέπεια, η ανεξαρτησία και η πληρότητα των αξιωμάτων. Μπορούν για παράδειγμα να συγκρίνουν την Ευκλείδεια και τις μη Ευκλείδειες Γεωμετρίες. Μία μειοψηφία μαθητών φτάνει στο επίπεδο αυτό κατά τη διάρκεια της τριτοβάθμιας εκπαίδευσης. Οι περισσότεροι δεν φτάνουν ποτέ.

Ανοιχτά περιβάλλοντα μάθησης

Το Cabri-geometry II

Χαρακτηριστικά του λογισμικού

Το πρόγραμμα Cabri-geometry II αποτελεί ένα περιβάλλον λογισμικού το οποίο δεν περιορίζεται απλώς στο να υποστηρίξει μια εναλλακτική διδασκαλία με τη χρήση υπολογιστή, αλλά υποστηρίζει την ανάπτυξη μιας διερευνητικής προσέγγισης στη διδασκαλία και στη μάθηση της γεωμετρίας. Αποτελείται από ένα πακέτο ισχυρών και προσεκτικά κατασκευασμένων υπολογιστικών εργαλείων για τη δημιουργία γεωμετρικών δραστηριοτήτων και εφαρμογών, η λειτουργία του οποίου βασίζεται στην αμφίδρομη σχέση με τον χρήστη. Επιτρέπει τόσο την κατασκευή όσο και την μελέτη γεωμετρικών αντικείμένων, δίνοντας με αυτόν τον τρόπο στον μαθητή κίνητρα ώστε να επεκτείνει τις αναζητήσεις του στο χώρο της γεωμετρίας.

Δημιουργήθηκε από τους Jean-Marie Laborde και Frank Bellemain στο Institut d’Informatique et Mathematiques Appliquees de Grenoble (IMAG), ένα ερευνητικό εργαστήριο στο Πανεπιστήμιο Joseph Fourier στη Grenoble της Γαλλίας, σε συνεργασία με το Centre National de la Recherche Scientifique (CNRS). Το πρόγραμμα Cabri ΙΙ προέρχεται από ομάδα επιστημόνων που ανήκουν στο χώρο της πληροφορικής, των μαθηματικών, όπως και της διδακτικής των μαθηματικών, με στόχο να προσφέρει μια νέα και δυναμική προσέγγιση στη μάθηση της γεωμετρίας.

Το πρόγραμμα Cabri διαθέτει βασικά πλεονεκτήματα σε σύγκριση με άλλα προγράμματα διδασκαλίας των μαθηματικών, και συγκεκριμένα της γεωμετρίας. Πρόκειται για ένα πακέτο γεωμετρίας το οποίο διαθέτει στοιχεία υψηλής αλληλεπίδρασης. Αποτελεί δυναμικό περιβάλλον μάθησης καθώς ο χρήστης έχει τη δυνατότητα να μεταβάλλει τις μορφές των σχημάτων όταν ορισμένες ιδιότητές τους παραμένουν αμετάβλητες. Ο δυναμικός χαρακτήρας του περιβάλλοντος αφορά ακόμη και στη δυνατότητα εμφάνισης στην οθόνη του υπολογιστή απειρίας ψηφιακών γραφικών αναπαραστάσεων μιας γεωμετρικής κατασκευής που δημιουργείται από το συνδυασμό απλών στοιχειωδών κατασκευών που υπάρχουν στο περιβάλλον διεπαφής (interface) του μικρόκοσμου (Κορδάκη, 2001). Επιπλέον, ο μαθητής μπορεί εύκολα να διαχειριστεί κάθε γεωμετρικό σχήμα με χρήση του συρσίματος (dragging), το οποίο είναι διαθέσιμο από το πρόγραμμα. Έτσι λοιπόν, μέσω αυτής της άμεσης διαχείρισης, άπειρα σχήματα με κοινές ιδιότητες είναι δυνατόν να απεικονίζονται γραφικά στην οθόνη του υπολογιστή, δίνοντας έτσι, την ευκαιρία στο μαθητή να κατασκευάσει αφηρημένες έννοιες που σχετίζονται με αυτές τις ιδιότητες (Laborde, 2001). Ταυτόχρονα, οι περισσότερες από τις ενέργειες του μαθητή συνοδεύονται από γραφική (εικονική) ψηφιακή ανατροφοδότηση. Ο ρόλος της εικόνας έχει αναφερθεί ως υποστηρικτικός στη δημιουργία νοερών εικόνων οι οποίες θεωρούνται ότι αποτελούν βασικό στοιχείο της νοητικής ανάπτυξης του ατόμου και στο περιβάλλον αυτό βοηθούν στην ανάπτυξη της γεωμετρικής λογικής (Mariotti, 2001).

Επίσης, το Cabri-geometry II αποτελεί ισχυρό εργαλείο τόσο για τον δάσκαλο όσο και για τον μαθητή ή τον ερευνητή, καθώς έχει τη δυνατότητα να καταγράφει βήμα προς βήμα το ιστορικό των ενεργειών του χρήστη, ώστε να βγάλουν συμπεράσματα για την διαδικασία της μάθησης που συντελέστηκε σε αυτό το περιβάλλον. Μια επίσης πολλή σημαντική δυνατότητα του ανοικτού αυτού περιβάλλοντος μάθησης είναι ότι διαθέτει εργαλεία στο μαθητή με σκοπό να μπορεί να επιλύει προβλήματα. Η σημασία της ικανότητας επίλυσης προβλημάτων είναι σημαντική για την ανάπτυξη της μαθηματικής σκέψης των παιδιών.

Σύμφωνα με τους Clements (1989) και Noss&Hoyles (1992), το ανοικτό περιβάλλον Cabri ΙΙ μπορεί να υποστηρίξει τη διεπιστημονική προσέγγιση στη μάθηση της γεωμετρίας, μέσα από το πλαίσιο των συμφραζομένων στο οποίο συντελείται η μάθηση (Κορδάκη, 2001). Ακόμη, ο μαθητής μπορεί να προσεγγίζει γεωμετρικά θέματα με έναν ποιοτικό τρόπο, δηλαδή χωρίς τη χρήση αριθμών. Η δυνατότητα αυτή τον βοηθά αρχικά να προσεγγίσει τις έννοιες ποιοτικά και στη συνέχεια να προχωρήσει σε πιο ποσοτικές προσεγγίσεις.

Τέλος, το περιβάλλον Cabri ΙΙ χωρίς να διαθέτει ένα σύστημα ελέγχου της ορθότητας των απαντήσεων του μαθητή, ωστόσο του παρέχει εργαλεία τα οποία μπορεί να χρησιμοποιήσει για αυτοδιόρθωση. Ένα ακόμη χαρακτηριστικό του είναι ότι δε μένει στατικό, αλλά μπορεί να εξελίσσεται παράλληλα με το χρήστη. Αυτή η εξέλιξη συντελείται μέσα από τη δημιουργία νέων λειτουργιών-εργαλείων (μακροκατασκευών), τα οποία κατασκευάζονται από τον ίδιο τον χρήστη και μπορούν να τοποθετούνται μόνιμα ως νέες δυνατότητες στο ψηφιακό περιβάλλον.

Βασικές δυνατότητες προγράμματος

Το πρόγραμμα Cabri-geometry II δίνει την ευκαιρία προσέγγισης μιας σειράς θεμάτων τα οποία αφορούν τη γεωμετρία. Συγκεκριμένα, βασικά πεδία αναφοράς είναι η αναλυτική και ευκλείδια γεωμετρία, όπως και γεωμετρικοί μετασχηματισμοί σε περιβάλλον υψηλής αλληλεπίδρασης. Ο χρήστης-μαθητής έχει τη δυνατότητα άμεσης κατασκευής σημείων, ευθειών, ευθύγραμμων τμημάτων, τριγώνων, πολυγώνων, κύκλων και άλλων βασικών σχημάτων. Επιπλέον, μπορεί να μεταφέρει, να μεγεθύνει και να περιστρέψει γεωμετρικά σχήματα γύρω από γεωμετρικά κέντρα και προσδιορισμένα σημεία καθώς και ανάκλαση, συμμετρία και αντιστροφή. Παράλληλα, μπορεί εύκολα να κατασκευάσει κωνικά σχήματα, ελλείψεις και υπερβολές. Ακόμη, μπορεί να δημιουργήσει macro για σημαντικές ή συχνά επαναλαμβανόμενες γεωμετρικές κατασκευές.

Ένας καθηγητής μπορεί να καταρτίσει λίστα περιεχομένων, η οποία θα περιλαμβάνει τα θέματα στα οποία επιθυμεί να επικεντρώσει το ενδιαφέρον και την εξάσκηση των μαθητών του. Επίσης, αντικείμενα που χρησιμοποιούνται για τις κατασκευές μπορούν να μετακινηθούν και να αποκρυφτούν για να περιοριστεί η επιβάρυνση της οθόνης. Οι παλέτες των χρωμάτων και των γραμμών διευκολύνουν τη διαφοροποίηση των σχημάτων ενώ το υλικό animation αναδεικνύει τα δυναμικά χαρακτηριστικά των σχημάτων. Τέλος, κατασκευές και maccro μπορούν να αποθηκευτούν στο σκληρό δίσκο ενώ η επιφάνεια εργασίας η οποία αγγίζει το ένα τετραγωνικό μέτρο, επιτρέπει την εκτύπωση επιφάνειας σχεδίου 8 ½ *11 (Κορδάκη, 2001).