Στα μαθηματικά, ονομάζουμε σύνολο οποιαδήποτε συλλογή καλά ορισμένων και διακεκριμένων πραγμάτων της διαίσθησης ή της φαντασίας μας που τη θεωρούμε ως ενότητα (Χατζηκυριάκου, 2008). Για να δείξουμε ότι χρησιμοποιούμε κάποια πολλαπλότητα ως ενότητα, χρησιμοποιούμε ορισμένο τρόπο συμβολικής αναπαράστασης των συνόλων (Χατζηκυριάκου, 2008). Τα πράγματα από τα οποία αποτελείται ένα σύνολο λέγονται στοιχεία του συνόλου και λέμε ότι ανήκουν σε αυτό (Χατζηκυριάκου, 2008).

Πληθικός αριθμός ενός πεπερασμένου συνόλου λέγεται ο αριθμός των στοιχείων του (Χατζηκυριάκου, 2008). Δύο σύνολα μπορούν να θεωρηθούν ίσα, αν και μόνο αν έχουν ακριβώς τα ίδια στοιχεία (Χατζηκυριάκου, 2008). Είναι σαφές ότι η σειρά με την οποία σκεφτόμαστε ή γράφουμε τα στοιχεία ενός συνόλου, δεν διαφοροποιεί το σύνολο (Χατζηκυριάκου, 2008). Σε κάθε έννοια αντιστοιχεί το σύνολο των πραγμάτων που μετέχουν στην έννοια αυτή (Χατζηκυριάκου, 2008).

Σε ότι αφορά τις πράξεις μεταξύ συνόλων, όταν μας δώσουν δύο ή περισσότερα σύνολα, τότε μπορούμε να συγκροτήσουμε νέα σύνολα, από την τομή τους, από την ένωσή τους και από τη διαφορά τους. Επίσης υπάρχουν τα υποσύνολα, που η σχέση που αναπτύσσουν με τα σύνολα, έχει τις εξής ιδιότητες: Ανακλαστική, μεταβατική και αντισυμμετρική ιδιότητα. Και τέλος, τα απειροσύνολα που έχουν γνήσια και ισοπληθές υποσύνολα. Ένα σύνολο, λέγεται πεπερασμένο, αν δεν είναι άπειρο.

Ο αριθμός ως πληθικότητα συνόλου αντικειμένων μπορεί να συσχετιστεί με την έννοια άμεση εκτίμηση ποσοτήτων. Ο όρος αυτός χρησιμοποιήθηκε για να δηλώσει την ικανότητα των παιδιών, να κατανοούν άμεσα το πλήθος μικρών συλλογών αντικειμένων, χωρίς να κάνουν χρήση της αρίθμησης. Στη πορεία χρησιμοποιήθηκε και με διαφορετικές σημασίες, όπως η ικανότητα των βρεφών να αναγνωρίζουν ποσότητες μικρών συλλογών αντικειμένων που διαφέρουν κατά ένα, ή ικανότητα διάκρισης της πληθικότητας μικρών συλλογών αντικειμένων, χωρίς να γίνεται χρήση της αρίθμησης, ακόμα και χωρίς να δηλώνεται λεκτικά η ποσότητα.

Αρχικά υποστηρίχθηκε ότι η άμεση εκτίμηση ποσοτήτων συνδέεται αναπόσπαστα με την κατανόηση του αριθμού, καθώς αποτελεί προϋπόθεση για την αρίθμηση. Αργότερα υποστήριξαν αρκετοί και το αντίθετο, ότι δηλαδή η άμεση εκτίμηση ποσοτήτων αποτελεί μια ταχεία μορφή αρίθμησης. Μέχρι και σήμερα η διαφωνία αυτή υφίσταται. Επιπροσθέτως τις τελευταίες δεκαετίες, έχουν επιχειρήσει μέσα από δύο βασικές θεωρίες να δείξουν την αλληλουχία που υπάρχει στην άμεση εκτίμηση ποσοτήτων και στην αρίθμηση με στόχο την ανάπτυξη των πρώτων αριθμητικών εννοιών του παιδιού.

Η πρώτη θεωρία που στηρίζεται στο μοντέλο του συσσωρευτή, πραγματώνει αυτή τη σύνδεση, υποθέτοντας ότι τα παιδιά ακόμα και από τη βρεφική ηλικία διακατέχονται από μια ασυνείδητη γνώση των αρχών της αρίθμησης. Καταλήγει στο ότι οι αριθμολέξεις μαθαίνονται μέσα από την αρίθμηση και το νόημά τους αποκτιέται από την αντιστοίχιση τους με μη λεκτικά μεγέθη. Αντιθέτως, ερευνητές υποστηρίζουν, ότι αν η θεωρία αυτή ήταν επαρκής, η γνώση της ακολουθίας των αριθμολέξεων δε θα αποτελούσε μια τόσο δύσκολη διαδικασία, όσο δείχνουν τα ευρήματα των ερευνών. Η δεύτερη θεωρία στηρίζεται στο μοντέλο του αρχείου αντικειμένων, και υποστηρίζει ότι η ικανότητα αυτή των βρεφών βασίζεται σε αντιληπτικά ή χωρο-χρονικά δεδομένα, τα οποία δεν είναι αριθμητικά και δε συνδέονται με μια ασυνείδητη γνώση της πληθικότητας. Συμπερασματικά υποστηρίζει ότι η γνώση των αριθμολέξεων πηγάζει από την ομαδοποίηση των αντικειμένων, μέσω της άμεσης εκτίμησης ποσοτήτων στα οποία έχει δοθεί το όνομα μιας αριθμολέξης. Έρευνες αποδεικνύουν ότι η δεύτερη θεωρία είναι πληρέστερη.

Οι Benoit υποστήριξαν ότι η άμεση εκτίμηση των μικρών ποσοτήτων φαίνεται ότι βοηθά τα παιδιά να εκτιμούν σε ίδιο χρόνο το όλο και τα μέρη και δε στηρίζεται στη διαδικασία της αρίθμησης. Τα αποτελέσματα των ερευνών τους έδειξαν ότι ο αριθμός των αντικειμένων και η ηλικία των παιδιών επηρεάζουν τις απαντήσεις τους. Οι Clements διακρίνει δύο τύπους άμεσης εκτίμησης, τον αντιληπτικό και τον εννοιολογικό. Με την πρώτη υποστηρίζεται ότι υπάρχει η ικανότητα αναγνώρισης του πλήθους μιας συλλογής αντικειμένων, χωρίς τη χρήση άλλων μαθηματικών διαδικασιών. Τα παιδιά είναι ικανά να γεννήσουν τις πρώτες τους ιδέες για την έννοια της πληθικότητας και να δημιουργήσουν μονάδες αρίθμησης. Ενώ στη δεύτερη, γίνεται λόγος για την αναγνώριση του πλήθους μιας συλλογής αντικειμένων ως ένα όλο και μια σύνθεση μονάδων.

Επίσης, τα παιδιά κυρίως της προσχολικής ηλικίας πρέπει να συλλάβουν το γεγονός ότι η αρίθμηση χρησιμοποιείται για να διαπιστώσουν πόσα είναι τα αντικείμενα μιας δοσμένης συλλογής αντικειμένων ή προκειμένου να κατασκευάσουν μια συλλογή αντικειμένων ενός συγκεκριμένου πλήθους. Από αυτό προκύπτει ότι η έννοια με την οποία θα ασχοληθώ στο σενάριο διδασκαλίας, μπορεί να συσχετιστεί και με την έννοια της απαρίθμησης. Ευρέως αποδεκτό, μέσα από έρευνες που έχουν διεξαχθεί στο παρελθόν, είναι το γεγονός, ότι τα παιδιά από μικρή ηλικία είναι ικανά να συντονίσουν τα αντικείμενα που παρατηρούν με μια σειρά αριθμολέξεων. Ο όρος απαρίθμηση χρησιμοποιείται συνήθως για να περιγράψει το συντονισμό της ακολουθίας των αριθμολέξεων με μια συλλογή ορατών αντικειμένων (Καφούση & Σκουμπουρδή, 2008).

Η απαρίθμηση μιας σειράς αντικειμένων ενός συνόλου, προϋποθέτει τη γνώση της ακολουθίας των ονομάτων με τη σωστή σειρά, την αντιστοίχιση κάθε αντικειμένου με μια και μόνο αριθμολέξη καθώς και τη διατήρηση των αντικειμένων. Για αρκετούς ερευνητές είναι άξιο αμφισβήτησης αν η ικανότητα της απαρίθμησης συνδέεται με τη κατανόηση της πληθικότητας ενός συνόλου αντικειμένων, καθώς τα παιδιά αφού τα αριθμήσουν, κατανοούν άμεσα τη σπουδαιότητα που έχει η τελευταία αριθμολέξη στη διαδικασία της αρίθμησης. Το γεγονός αυτό δυσκολεύει στη κατανόηση του ότι η αριθμολέξη αναφέρεται στο σύνολο των αντικειμένων. Σύμφωνα με τον Bermezo και τους συνεργάτες του η σχέση που αναπτύσσεται μεταξύ της απαρίθμησης και τη κατανόηση της πληθικής σημασίας του αριθμού είναι παρόμοια με τη σχέση του μέσου και του σκοπού. Τα πειράματά τους έδειξαν ότι τα παιδιά ανταποκρίνονται με μεγαλύτερη ευκολία σε μικρές συλλογές αντικειμένων, γεγονός που μπορεί να συνδεθεί με την ικανότητα άμεσης εκτίμησης ποσοτήτων. Στη πορεία εξοικειώνονται και με μεγαλύτερες συλλογές αντικειμένων. Άρα υποστηρίζουν ότι η εκτίμηση της πληθικής σημασίας του αριθμού επιτυγχάνεται σταδιακά μέσα από διάφορες δραστηριότητες. Από τη άλλη μεριά, ο Steffe υποστηρίζει, ότι το παιδί δε κατανοεί τη πληθικότητα, καθώς αυτή δε περιορίζεται μόνο σε συλλογές ορατών αντικειμένων. Οι έρευνες που έκανε ο Piaget για τη πληθική έκφραση του αριθμού, μας παρέχουν πληροφορίες για το πώς αναπτύσσεται αυτή η έννοια από τα μικρά παιδιά. Το πρώτο πείραμα του, αφορούσε τη διατήρηση του αριθμού. Αρκεί να τοποθετήσει το παιδί μπροστά από δύο συλλογές αντικειμένων (π.χ. 9 κόκκινες χάντρες και 9 μπλε χάντρες) και αφού το παιδί αναγνώριζε την ισοδυναμία τους, αραίωνε τη μια συλλογή και ρωτούσε αν είναι ακόμα ισοδύναμες. Σε αυτό το σημείο ανακάλυψε ότι πριν το παιδί συμπληρώσει τα 6 του χρόνια, ισχύει η μη διατήρηση του αριθμού. Ακολούθησαν και άλλα πειράματα που με ασυνεχείς ποσότητες, προκλήθηκε η αντιστοίχιση μεταξύ μπουκαλιών και ποτηριών, λουλουδιών και βάζων, χρημάτων και εμπορευμάτων κλπ, με στόχο την κατανόηση της πληθικής έκφρασης του αριθμού. Στη συνέχεια πολλοί ερευνητές διεξήγαγαν πειράματα της διατήρησης του αριθμού και διατήρησαν επιφυλάξεις για τα πειράματα του Piaget, καθώς θεωρούσαν ότι προδιέθετε τα παιδιά να απαντήσουν λανθασμένα και επιπλέον δυσκολεύονταν να κατανοήσουν γλωσσικά τις ερωτήσεις που τους έθεταν κατά τη διάρκεια του πειράματος. Ο Piaget, τέλος συμπεραίνει ότι για μια πραγματική κατανόηση και εφαρμογή φυσικών αριθμών χρειάζεται μια εκτίμηση ταυτόχρονα της διατακτικής και πληθικής έκφρασης, μαζί με την απαραίτητη σχέση μεταξύ αυτών των δύο (Λεμονίδης, 2001). Θεωρεί ότι αυτό αποκτιέται τον ίδιο χρόνο με την ανάπτυξη πολλών άλλων λογικών λειτουργιών, σε γενικές γραμμές γύρω στα 6 με 8 χρόνια, για το μέσο όρο των παιδιών (Λεμονίδης, 2001). Σύμφωνα με τη Πιαζετιανή θεωρία ο αριθμός μπορεί να διαμορφωθεί στο παιδί από τη σύνθεση δύο συστημάτων: του συστήματος της διάταξης και του συστήματος του εγκλεισμού των τάξεων (Λεμονίδης, 2001). Στα πειράματα του Piaget και του Szeminska που ακολούθησαν, παρατήρησαν ότι το παιδί περνάει από μια εμπειρική κατασκευή σε μια εννοιολογική αντίληψη του αριθμού που καταλήγει στη διατήρηση του. Η προφορική αρίθμηση για αυτούς τους ερευνητές θεωρείται ως προφορική εκδήλωση, χωρίς συμβολή στη σύλληψη της έννοιας του αριθμού. Αργότερα ο Greco, καταγράφει ότι οι εκτιμήσεις των παιδιών της λεγόμενης μερίδας, προηγούνται πάντα από αυτές της ποσότητας. Επίσης τα παιδιά που αριθμούν δεν πετυχαίνουν πάντα στην εξέταση που τους γίνεται για την διατήρηση. Μερικά αδυνατούν να υποστηρίξουν την ισοδυναμία δύο συνόλων μετά από τροποποίηση της διάταξης τους στο χώρο, παρόλο που προηγουμένως την είχαν διαπιστώσει. Θεωρεί ότι η απαρίθμηση είναι ημιαριθμοί με πληθική υπόσταση. Συνοπτικά η δεύτερη θέση, υποστηρίζει ότι το παιδί διαθέτει από νωρίς τα απαραίτητα συνθετικά στοιχεία για να αναπτύξει την έννοια του αριθμού, απλά έχει περιορισμένη ικανότητα της επεξεργασίας των πληροφοριών, γεγονός που δυσκολεύει τη λύση των προβλημάτων που αναφέρονται σε μεγάλα αριθμητικά σύνολα, αδυνατώντας να συγχρονίσει και να διαχειριστεί τα διάφορα συνθετικά στοιχεία που παρεμβάλλονται (Λεμονίδης, 2001).